Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция действительной переменной, определяемая равенством:
,
где - вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .
Свойства функции распределения .
1. Все значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е. .
2. Функция является неубывающей: если , то .
3. непрерывна слева при любом , т.е. .
4. , .
5. Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности значений функции распределения в концах этого промежутка .
Функция распределения полностью характеризует случайную величину как дискретную, так и непрерывную. Функцию распределения еще называют интегральным законом распределения.
Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид: , где выражение означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше . Такая функция является ступенчатой функцией. Для непрерывной случайной величины функция распределения является непрерывной функцией.
|
|
Непрерывная случайная величина может быть охарактеризована еще одной функцией.
Определение. Плотностью распределения случайной величины называется числовая функция , определяемая соотношением: (т.е. предел отношения вероятности того, что значение случайной величины попадет в промежуток к длине этого промежутка).
Свойства плотности распределения .
1. Функция является неотрицательной: .
2. Интеграл по бесконечному промежутку от плотности распределения вероятностей равен единице: (это свойство называют условием нормировки).
3. В точках дифференцируемости производная функции распределения равна плотности распределения вероятностей:
.
4. Функция распределения связана с плотностью распределения соотношением: .
5. Вероятность попадания значений случайной величины в полуинтервал равна определенному интегралу от плотности распределения по отрезку : .
Свойства 3 и 4 устанавливают связь между функцией распределения и плотностью распределения. Плотность распределения еще называют дифференциальным законом распределения.
Пример. Случайная величина задана функцией распределения .
Найти плотность распределения , построить графики функций и .
Решение. Используя свойство 3, находим: .
Графики функций и изображены на Рис.4 и 5.
Рис. 4
Рис. 5
Пример. Найти функцию для дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей: .
Решение. Так как случайная величина является дискретной, то функцию строим, используя формулу .
При .
Если , то .
При : .
Если : то .
При : .
График функции изображен на Рис. 6.
|
|
Рис. 6
Пример. Для случайной величины известна плотность распределения . Требуется найти функцию распределения .
Решение. Будем использовать свойство 4 плотности распределения.
Рассмотрим следующие промежутки:
Пусть , тогда ;
Пусть , тогда ;
Пусть , тогда .
Окончательно, получаем: .