1. Проверить коммутативность и ассоциативность операций.
1) сложение чисел; 2) умножение чисел; 3) сложение матриц; 4) умножение матриц (проверить на примере квадратных матриц А, В и С 2-ого порядка); 5) возведение в степень; 6) ln xy (где х, у >0); 7) х-у; з) х/у.
2.Проверить дистрибутивность слева и справа операции ψ отношению к операции φ.
1) φ – сложение чисел, ψ – умножение чисел; 2) φ – умножение чисел, ψ – сложение чисел; 3) φ – объединение множеств, ψ – пересечение множеств; 4) φ – пересечение множеств, ψ – объединение множеств; 5) φ – умножение чисел, ψ – возведение в степень; 6) φ – возведение в степень, ψ – умножение чисел; 7) φ – возведение в степень, ψ – сложение чисел.
3. На множестве задать с помощью таблицы Келли операции – сложение по модулю 4 и – умножение по модулю 4. Продемонстрировать на примере их коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность по отношению к , отсутствие дистрибутивности по отношению к .
4. На множестве задать с помощью таблицы Келли операции – сложение по модулю 16 и – умножение по модулю 16.
Найти значения выражений:
1) ;
2) .
5. В конечной алгебре поля рассчитать значения выражений:
1) ;
2) .
6. В поле , операции которого заданы таблицами Келли
* | a | b | c | d | + | a | b | c | d | |
a | a | a | a | a | a | a | b | c | d | |
b | a | b | c | d | b | b | a | d | c | |
c | a | c | d | b | c | c | d | a | b | |
d | a | d | b | c | d | d | c | b | а |
1) единичный элемент по операции *;
2) единичный элемент по операции +;
3) противоположный и обратный элемент для каждого элемента ;
4) найти значения выражений:
а) ;
б) ;
в) .
5) решить систему
;
.
7. Дано множество . Задано поле , где
a | b | c | d | + | a | b | c | d | ||
a | a | a | a | a | a | a | b | c | d | |
b | a | b | c | d | b | b | a | d | c | |
c | a | c | d | b | c | c | d | a | b | |
d | a | d | b | c | d | d | c | b | а |
Найти единичные элементы по операциям и +, противоположные элементы для каждого, решить систему:
;
.
8. Доказать единственность единичного элемента в группе.
9. Доказать единственность обратного элемента в группе.
10. Пусть ассоциативная операция, заданная на множестве А, такая что для каждого элемента существует обратный элемент . Доказать, что .
11. Дано . На множестве А заданы преобразования . На множестве преобразований задана операция композиции преобразований .
Проверить, будет ли алгебра полугруппой.
12. Составить полугруппу с операцией – композиция преобразований, для которой множество подстановок является системой образующих.
Что надо сделать, чтобы эта полугруппа стала моноидом.
13. Пусть S – множество всех перестановок . Определить свойства алгебры . Будет ли оно группой? Будет ли группа абелевой?
14. Будет ли алгебра (B(U), ) решеткой? Изобразить диаграмму Хасса.
15. Будет ли алгебра () решеткой? Изобразить диаграмму Хасса.
16. Является ли решеткой множество целых чисел Z с операциями и , таких что для любых выполняется:
, .
17. Будет ли решеткой множество, диаграмма Хасса которой изображена на рисунке. Почему?
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
18. Проверить на примере выполнение условия изоморфизма между алгебрами:
1) (B(U), , ┐) и (, ┐);
2) (, ┐); (B (U), , ┐), где .
19. Определить изоморфны ли алгебры:
1) и , где гомоморфизм задается ;
2) и , где гомоморфизм задается ;
3) и , где гомоморфизм задается ;
4) и , где гомоморфизм задается ;
5) и , где гомоморфизм задается ;
6) и , где гомоморфизм задается ;
7) и , где гомоморфизм задается ;