Задача 3. Расчет балки на изгиб

Для балки (рис. 3, а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать номер двутавра. Проверить прочность выбранного двутавра по главным напряжениям, используя третью теорию прочности.

Исходные данные: F =60 кН; M =70 кНм; q =40 кН / м; а =1 м; b =3 м; с =2 м; [ σ ]=155 МПа. (меняем)

Рис. 3 -

Решение.

1. Определим реакции опор и , составив для этого уравнения равновесия:

;

;

2. Сделаем проверку:

Реакции найдены правильно.

3.Построение эпюр.

Для построения эпюр разобьём балку на три участка и составим уравнение для Q и М.

I участок:

При z=0

При z=a

II участок: .

При z=a

При z=a+b

III участок: .

.

При z₁= 0 .

При z₁=с .

На этом участке график поперечной силы пересекает ось эпюры (рис. 3, б). Следовательно, в точке, где , изгибающий момент имеет экстремум. Найдём его. Из условия получаем:

Изгибающий момент при z ₁ = 0,85:

.

По этим данным строим эпюру поперечных сил (рис. 3, б) и изгибающих моментов (рис. 3, в).

3. Подберём сечение балки. Наибольший изгибающий момент (рисунок 3, в) равен 84,45 кН ∙ м. Необходимый момент сопротивления:

4.

По таблицам сортамента [1] ближайшими к этому значению являются W_х= 518 cм³ (двутавр №30а) и W_х= 597 cм³ (двутавр №33).

5. Проверим, годится ли двутавр №30а. Напряжения в нём будут равны:

Перенапряжение составляет:

что допустимо.

Таким образом, в соответствии с расчётом по нормальным напряжениям следует принять двутавр №30а. Однако в сечении над левой опорой балки действуют одновременно значительный изгибающий момент М=80 кН∙м и большая поперечная (перерезывающая) сила Q =100 кН (рис. 3). Поэтому в этом сечении надо сделать проверку по главным напряжениям.

6. Проверим условие прочности по третьей теории прочности. Из таблиц сортамента выпишем для двутавра №30а: I_х= 7780 см⁴; h= 300 мм; t= 10,7 мм; d= 6,5 мм.

Тогда в точке К сечения (рис. 4)

Рис. 4

.

Согласно третьей теории прочности должно выполняться условие:

.

В нашем случае:

.

7. Определим перенапряжение в точке К.

Перенапряжение составляет:

что недопустимо велико (более 5%).

Таким образом, надо использовать двутавр большего размера. Окончательно принимаем двутавр №33.