Имеется одна телефонная линия, по которой звонки поступают с интенсивностью в среднем 0.8 зв/мин. Среднее время телефонного разговора равно 1.5 мин. Если линия занята, то звонок получает отказ. Необходимо определить:
- вероятность отказа ;
- абсолютную пропускную способность ;
- среднее количество занятых каналов .
Так как СМО с отказами, то стационарный режим существует всегда.
Заявка получает отказ, если линия занята, и , (т.е. в среднем только 45% звонков получают обслуживание).
— телефонная линия занята в среднем всего лишь 55% от общего времени.
1.9 Одноканальная СМО с ограниченной очередью
Пусть длина очереди в одноканальной СМО ограничена числом . Тогда граф переходов будет иметь следующий вид:
Рисунок 1.6– Граф переходов
Используя формулы схемы гибели и размножения, получаем
, .
Среднее число занятых каналов .
Среднее число заявок в очереди
.
Среднее число заявок в системе .
Вероятность в отказе
Относительная пропускная способность
.
1.10 Многоканальные СМО с ожиданием
|
|
Рассмотрим случай одинаковых каналов обслуживания с интенсивностью обслуживания каждого прибора. При простейшем входном потоке и экспоненциальном времени обслуживания правило выбора канала не влияет на функционирование системы, т.е. на число заявок, находящихся в системе, на время ожидания.
Построим граф переходов
Рисунок 1.7 – Граф переходов
Интенсивность обслуживания возрастает с ростом числа занятых каналов. Как только все каналы оказываются занятыми заявками, интенсивность обслуживания в системе перестает расти, вновь пришедшие заявки становятся в очередь, ожидая освобождения какого-либо из каналов.
По графу строим уравнения вероятностей состояний
....
....
Учитывая
Получим основные характеристики системы
Абсолютная пропускная способность
отсюда, среднее число занятых каналов
.
Среднее число заявок в очереди
,
после преобразований .
Общее число заявок в системе:
Среднее время пребывания в системе
Все вышеперечисленные формулы справедливы только для стационарного режима. Для того, чтобы многоканальная система с бесконечной очередью имела стационарный режим, должно выполняться условие
1.11 Многоканальные СМО с отказами
Имеется обслуживающих каналов, каждый из которых доступен, когда он свободен, для каждой из поступающих в систему заявок. Если при поступлении очередной заявки все каналы заняты, то заявка получает отказ и теряется (). Граф переходов
Рисунок 1.8 – Граф переходов
Уравнения вероятностей состояний здесь такие же, как и для любой многоканальной СМО, только для условия
|
|
.
Заявка получает отказ в том случае, если все каналы заняты, тогда вероятность отказа
Относительная пропускная способность
.
Учитывая, что среднее число занятых каналов равно
Среднее время, проводимое заявкой в системе
Если в системе очередь, ограниченная числом мест (M / M / s / m), то заявка получит отказ только в том случае, когда в системе заняты все каналы обслуживания и все места в очереди ( заявок). Тогда вероятность отказа
где .
Абсолютная пропускная способность
Формулы для среднего числа заявок в системе, в очереди и на обслуживании аналогичны соответствующим формулам для многоканальной СМО с ожиданием.