Если степенной ряд сходится при x = x0 ¹ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях |x| < |x0|.
Следствие: Если ряд расходится при x = x1, тоон расходится и при всех | x| > |x1 |.
Из теоремы Абеля следует, что если x0 ¹ 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (– |x0 |; |x0 |) весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях x вне этого интервала степенной ряд расходится.
Интервал (– |x0 |; |x0 |) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R = |x0 | называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е. при всех x, для которых | x| < R, ряд абсолютно сходится, а при | x| > R ряд расходится.
В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0, то считается, что R = 0. Если же ряд сходится при всех значениях x Î R (т.е. во всех точках числовой оси), то считается, что R = ∞.
Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при x = R и при x = – R) сходимость ряда проверяется в каждом конкретном случае отдельно.
Согласно признаку Даламбера радиус сходимости степенного ряда определяется как , а согласно признаку Коши - R = 1 / .
|
|
@ Задача 1. Найти радиус сходимости степенного ряда .
Решение: Радиус сходимости можно найти по формуле Даламбера
= .
Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.
@ Задача 2. Найти радиус сходимости степенного ряда .
Решение: Радиус сходимости находим по формуле Коши
R = 1 / = .
Следовательно, степенной ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0.