Нелинейная регрессия. Коэффициенты эластичности

Представление связи через линейную функцию там, где на самом деле существуют нелинейные соотношения, вызовет ошибки аппроксимации и в конечном итоге упрощенные или даже ложные положения и выводы на основе аналитического уравнения.

Вопрос о нелинейности формы уравнения следует решать на стадии теоретического анализа. Как правило, анализ должен опираться на суть взаимодействия изучаемых явлений и процессов и формально подкрепляться различного рода статистическими критериями. Но на практике допускается и другое решение — нелинейность формулируется как гипотеза и очерчивается лишь круг возможных уравнений, а затем форма и вид уравнения уточняются на ЭВМ. Существуют разные формы нелинейных уравнений регрессии, но в общем виде можно выделить два их класса.

К первому отнесем регрессии нелинейные относительно включенных в исследование переменных, но линейные по параметрам. Это, например, полиномы. В случае парной регрессии имеем уравнения

У = а₀ + а₁Х + а₂Х² + а₃Х³ + ….

Множественная регрессия У = f(X₁, Х₂) по аналогии выглядит как У = а₀ + а₁Х₁ + а₂Х₁² + … + b₁Х₂ + b₂Х₂² + b₃Х₂³ + … +

+ с₁Х₁Х₂ + с₂Х₁Х₂² + с₃Х₁²Х ₂ + ….

Возможно применение гиперболы, других функций. При желании с помощью стандартных программ для ЭВМ может быть образовано любое нелинейное сочетание переменных, линейных относительно коэффициентов уравнения. Последние оцени­ваются с помощью метода наименьших квадратов.

Второй класс нелинейных функций отличается нели­нейностью по оцениваемым параметрам. Таких уравнений также существует множество. Наиболее распространена степенная функция вида

У = а₀Х^а1 (парная регрессия)

либо У = а₀Х^а1 Х^а2 Х^а3... (множественная регрессия).

Даже по приведенным примерам - можно составить представление о широком спектре возможных аналитических представлений нелинейной формы связи. Ограничивает их использование сложность процедур оценивания параметров уравнений. Это подчас требует специальных приемов, алгоритмов, программ для ЭВМ.

Относительно просто решается такая задача для функций, преобразуемых к линейному виду. Например, степенную функцию можно прологарифмировать, получив линейную зависимость У от X в логарифмах, и применить для оценки параметров уже упоминавшийся метод наименьших квадратов. Однако надо иметь в виду, что при этом оценивается не сама нелинейная функция, но ее линейное преобразование, а это может вызвать смещение оценок параметров.

Интерпретация коэффициента регрессии как углового коэффициента в линейном уравнении для нелинейной зави­симости не годится. Определить изменение У при изменении Х на единицу можно с помощью производной (простой или частной), взятой по соответствующему фактору X. Так, для степенного уравнения У = а₀Х^а1 производная по Х равна

d У

f '(X) = = а₀а₁ Х^а1-1.

d Х

Видно, что она является величиной переменной, а это усложняет экономическую интерпретацию результатов.

Чаще всего для характеристики влияния изменения Х на У используют так называемый коэффициент эластичности (Э), который показывает, на сколько процентов изменится У при изменении Х на один процент, т. е.

d У Х Х

Э = * = f '(X).

d Х У У

Например, для линейного уравнения коэффициент эластичности фактора Х выглядит как

а₁Х а₁Х

Э = =.

У а₀ + а₁Х

Для парной степенной функции У = а₀Х^а1 коэффициент эластичности Х равен а₁.

Коэффициенты эластичности — это, собственно, относи­тельные величины. Их использование расширяет возможности сопоставления, экономической интерпретации результатов в дополнение к абсолютным величинам — коэффициентам регрессии.