1. Скалярное умножение коммутативно, т.е. для любых векторов справедливо равенство )
2. ненулевой вектор, и
3. ние равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нуль-вектору.
4. и заданы своими координатами в ортогональном базисе то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
Отсюда следует необходимое и достаточное условие ортогональности векторов:
5. Для любых векторов справедливо равенство (дистрибутивность операции сложения относительно операции умножения векторов).
6. Для любых векторов и любого числа k справедливо равенство (Ассоциативность по отношению к умножению вектора на число.)
7. Пусть два ненулевых вектора, угол между ними. Из определения скалярного произведения следует:
8. Пусть в пространстве дана некоторая ось единичный вектор который составляет с координатными осями углы Тогда проекция произвольного вектора эту ось определяется формулой
Пример 1. Найти проекцию вектора на ось , образующую с координатными осями острые углы.
|
|
Решение. Направляющие косинусы оси таковы:
Следовательно,
Ответ:
Пример 2. Даны векторы Найти
Решение. Так как
Ответ: