Задания для самостоятельной работы к разд.2.1
- На вершину горы ведет 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? (Ответ: 49).
- На вершину горы ведет n дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее, если подъем и спуск должен осуществляться различными дорогами? (Ответ: n (n -1)).
- Сколькими способами можно разложить n различных шаров по m различным урнам. (Ответ: mn).
- Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5? (Ответ: 125).
- Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если каждую из этих цифр можно использовать не более одного раза? (Ответ: 60).
- Найти количество чисел от 0 до 999999, в записи которых встречается «1», и в записи которых ее нет. (Ответ: 468559, 531441).
- Сколько существует чисел от 0 до 999999, в которые не входят две идущие друг за другом одинаковые цифры? (Ответ: 597871).
- Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на 5? (Ответ: 18000).
- Сколько имеется двузначных чисел, у которых обе цифры четные? (Ответ: 20).
- Сколько имеется пятизначных чисел, у которых все цифры нечетные? (Ответ: 3125).
- Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть автоматическую камеру хранения с пятизначным номером? (Ответ: 100000).
- Человек забыл пятизначный номер автоматической камеры хранения. Он только помнит, что в номере были числа 17 и 78. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру? (Ответ: 60).
- Сколько диагоналей имеет выпуклый n -угольник? (Ответ: n (n -3)/2).
- Каково число матриц из n строк и m столбцов с элементами из множества {0,1}. (Ответ: 2 mn).
- В комнате 6 лампочек, каждая имеет свой выключатель, сколькими способами можно осветить комнату? (Ответ: 63).
- Сколькими способами можно усадить 7 гостей на 7 стульях? (Ответ:5040).
- Сколькими способами можно разместить в аудитории 10 человек, если есть 10 мест? (Ответ:3628800).
- Сколько можно составить перестановок из n элементов, в которых данные m элементов не стоят рядом в любом порядке? (Ответ: n!- m!(n - m +1)!).
- Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? (Ответ: 2(n!)2).
- Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей? (Ответ: 45).
- На плоскости поставили 5 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько всего отрезков получилось? (Ответ: 10).
- На плоскости поставили n точек. Каждые две точки соединили направленным отрезком. Сколько направленных отрезков получилось? (Ответ: n!/(n-2)!).
- В группе из 30 студентов каждый пожал руку всем остальным. Сколько было рукопожатий? (Ответ: 435).
- Каково число матриц из n строк и m столбцов с элементами из множества {0,1} при условии, что строки каждой матрицы должны быть попарно различны. (Ответ:
). - Сколькими способами можно избрать президиум для ведения собрания в группе из 25 человек, если в президиум входят: председатель, секретарь и член президиума? (Ответ:13800).
- Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два? (Ответ: 30).
- В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки различные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник? (Ответ: 151200).
- У англичан принято давать детям несколько имен. Два способа, различающиеся лишь порядком имен, считаются различными. Пусть ребенку дают не более трех имен, а общее число имен равно 300. Сколькими способами можно назвать ребенка, если все данные ему имена различны, и если имена могут повторяться? (Ответ: 26820600, 27090300).
- Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «мама»? (Ответ: 6).
- Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»? (Ответ: 389188800).
- Для премирования трех студентов купили 12 различных книг. Сколько возможных способов распределения книг по 4 каждому студенту? (Ответ: 34650).
- Сколькими способами множество из n элементов может быть разбито на m подмножеств, из которых первое содержит k 1 элементов, второе k 2 и т.д. (Ответ: n!/(k 1! k 2!... km!)).
- Сколькими способами можно разложить n = k 1+ k 2+...+ km различных шаров по m различным урнам так, чтобы в первую урну попало k 1 шаров, во вторую – k 2 и т.д., в m -ю – km шаров? (Ответ: n!/(k 1! k 2!... km!)).
- Найти число способов размещения n различных шаров по m различным урнам так, чтобы m 1 урн содержали по p 1 шаров, m 2 – по p 2 и т.д., mk урн по pk шаров (m = m 1+ m 2+...+ mk, n = m 1 p 1+ m 2 p 2+...+ mkpk). (Ответ:
). - Найти число способов размещения n различных шаров по m урнам так, чтобы m 1 урн содержали по p 1 шаров, m 2 – по p 2 и т.д., mk урн по pk шаров (m = m 1+ m 2+...+ mk, n = m 1 p 1+ m 2 p 2+...+ mkpk), если урны содержащие одинаковое число шаров неразличимы. (Ответ:
). - Дано m предметов одного сорта и n предметов другого. Найти число выборок, составленных из r предметов одного сорта и s – другого. (Ответ:
). - В группе из 22 студентов 6 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать 5 человек так, чтобы среди них были 2 девушки и 3 юноши? (Ответ: 525).
- Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов? (Ответ:
). - Коалиции A и B ведут войну между собой; n нейтральных государств находятся в нерешительности, причем p из них не присоединяются к A, а k не присоединяются к B. Сколько новых положений может оказаться в этой войне в зависимости от дальнейшего поведения нейтральных государств. (Ответ: 2 k 2 p 3 n - k - p -1).
- Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу, т.е. на них должны быть одинаковые числа? (Ответ: 147).
- Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не атаковали друг другу, т.е. чтобы никакие две из них не стояли на одной вертикали или горизонтали? (Ответ: 40320).
- Занумеруем слева направо первый горизонтальный ряд клеток шахматной доски числами от 1 до 8, второй – от 9 до 16 и т.д. Докажите, что сумма номеров клеток, на которых стоят 8 ладей, не атакующих друг друга всегда равна 260.
- Пусть L =(m, n) – точка с натуральными координатами на целочисленной решетке. Найти число «монотонных» траекторий, ведущих из начала координат в точку L. Под монотонной понимается траектория, на каждом шаге которой можно идти либо вправо, либо вверх. (Ответ:
). - Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на квадраты. Таких квадратов в направлении с севера на юг n, а в направлении с востока на запад k. Сколько имеется кратчайших дорог из самой крайней юго-западной точки города до крайней северо-восточной (от одной из вершин прямоугольника до противоположной)? (Ответ:
). - Пусть в городе, о котором речь шла в предыдущей задачи, квадратов в направлении с востока на запад в m раз (m – целое) больше чем в направлении с севера на юг. Все кратчайшие дороги из крайней юго-западной точки до крайней северо-восточной можно разделить на два класса: пути, у которых первое звено ведет на восток, и пути, у которых первое звено ведет на север. Во сколько раз путей, у которых первое звено ведет на восток больше чем путей, у которых первое звено ведет на север? (Ответ: в m раз).
- Сколькими способами можно число n представить в виде суммы k слагаемых (представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются различными), если каждое слагаемое является целым неотрицательным числом? (Ответ:
). - Сколькими способами можно число n представить в виде суммы k слагаемых (представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются различными), если каждое слагаемое является натуральным числом? (Ответ:
). - Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом? (Ответ:
). - Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется: а) хотя бы один туз; б) ровно один туз; в) не менее двух тузов; г) ровно два туза? (Ответ: а)
б) 
в) 
г) 
). - Исходя из комбинаторных соображений, доказать, что следующие числа целые:
, 
. - Чему равно значение
? - Чему равно значение
? - Чему равно значение
? - Чему равно значение
? - Чему равно значение
? - Чему равно значение
? - Чему равно число композиций 7?
- Чему равно число композиций 8?
- Чему равно число композиций 6 из 3 частей, если элементы композиции являются натуральными числами?
- Чему равно число композиций 6 из 5 частей, если элементы композиции являются натуральными числами?
- Чему равно число композиций 6 из 3 частей, если элементы композиции являются целыми неотрицательными числами?
- Чему равно число композиций 6 из 4 частей, если элементы композиции являются целыми неотрицательными числами?
2015-04-01
2864
