Метод наименьших квадратов

Для решения используем следующую таблицу.

Годы	Иполь-зовние ВВП, трлн. руб. Уф	Условное обо-значение времени Х	Уф*Х	Х^2	Ур	Расчет средней относительной ошибки / Уф - Ур/ Уф * 100
	19,6 101,0 171,5 348,6 493,2 610,7 701,3 875,4		19,6 202,0 514,5 1394,4 2466,0 3664,2 4909,1 7003,2		-20,6 103,9 228,4 352,9 477,4 601,9 726,4 850,9	2,05 2,87 33,17 1,23 3,20 1,44 3,58 2,8
Итого	3321,3					50,32
прогноз	975,4 1099,9

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза. Рассчитаем графы 4 и 5.

Ур определим по формуле 4, а коэффициенты a и b по формулам 5,6.

20173 - (36 * 3321,3) / 8

a = 204 - 36^2 / 8 = 124,5

b = 3321,3/8 – 124,5*36/8 = - 145,1

У₁₉₉₂ = 124,5*1 – 145,1 = -20,6

У₁₉₉₃ = 124,5*2 – 145,1 = 103,9 и т.д.

Заносим полученные результаты в таблицу. Определяем прогнозное значение.

У ₂₀₀₀ = 124,5*9 – 145,1 = 975,4

У ₂₀₀₁ = 124,5*10 – 145,1 = 1099,9

Рассчитываем среднюю относительную ошибку (см. формулу 10)

ε = 50,32/8= 6,29%

Сравните полученные результаты по прогнозам разработанным различными методами и средней относительной ошибке. Сделайте вывод какой метод позволил получить более достоверные результаты

Задание 2.

В таблице представлен объем продаж товара А в городе.

Постройте график исходных данных и определите наличие сезонных колебаний.

Постройте прогноз объема продажи товара А в городе на 2002 гг. с разбивкой по кварталам.

Рассчитайте среднюю относительную ошибку прогноза.

Решение.

1. Представим исходные данные графически. По оси Х отложим параметр времени (годы и кварталы), а по оси У объем продаж. Определим наличие сезонных колебаний.

2. Составим таблицу (см. ниже).

3. 4-х квартальные суммы рассчитываются суммированием Уф за четыре рядом стоящие квартала.

42,2+55,4+64,8+63,4 = 225,8

55,4+64,8+63,4+48,1 = 231,7 и т.д.

4-х квартальные средние = 4-х квартальные суммы/4 = 225,8/4 =56,45; 231,7/4 = 57,93. В таблице они ставятся в средину суммируемых кварталов.

Центрированные средние рассчитываются как сумма двух 4-х квартальных средних деленная на 2, например

(56,45 + 57,93) / 2 = 57,19; (57,93 + 58,50) / 2 = 58,2 и т.д.

4. Определяем показатели сезонности.

Псезон = Уф / Центр.средние * 100 (или графа 3/на графу 6 * 100).

Так, для 3 квартала 1999 г. Псезон = 64,8 / 57,19 * 100 = 113,31

Для 4 квартала 1999 г. Псезон = 63,4 / 58,21 * 100 = 108,91 и т.д.

Определим индексы сезонности для каждого квартала (I j). Для расчета берутся показатели сезонности, суммируются по квартально и делятся на количество суммированных значений.

Для 1 квартала I ₁ = (81,4 + 77,3) /2 = 79,35

Для 2 квартала I ₂= (95,8 + 98,8) /2 = 97,3

Для 3 квартала I ₃= (113,3 + 115,2) /2 = 114,25

Для 4 квартала I ₄= (108,9 + 110,5) /2 = 109,7

6. Определяем в таблице графы 8,9,10.

7. Ур = a * X + b, коэффициенты a и b рассчитываются по формулам 5 и 6.

Год	Квартал	Объем продаж млн.руб Уф	Показатели сезонности	Условное обозначе ние вре мени, Х	Х^2	Уф*Х	Ур	Расчет средней относи тельной ошибки
4-квар- таль- ные суммы	4-квар- таль- ные средние	Центри рован- ные средние	Показатели сезон ности
		42,2 55,4 64,8 63,4 48,1 57,7 69,7 67,1	- - - 225,8 231,7 238,9 242,6	- 56,45 57,93 58,5 59,73 60,7 60,4	- - 57,19 58,2 59,1 60,2 60,5 60,7	- - 113,3 108,9 81,4 95,1 115,2 110,5			42,2 110,8 194,4 253,6 240,5 346,2 487,9 536,8	52,88 54,01 55,15 56,28 57,41 58,54 59,67 60,81	25,31 2,51 14,89 11,23 19,36 1,46 14,39 9,37

Продолжение таблицы

		47,1 59,9 69,7 64,2	241,6 243,8 243,8 240,9	60,9 60,9 60,22 -	60,9 60,6 - -	77,3 98,8 - -			423,9 599,0 766,7 770,4	61,94 63,07 64,2 65,33	31,51 5,29 7,89 1,76
Итого		709,3	-	-	-	-			4772,4	-	144,97
прог ноз		52,74 65,77 78,52 76,64

b = 709,3/12 –1,132*78/12 = 51,75

Рассчитываем Ур и вносим полученные результаты в таблицу.

8. Строим прогноз на 2002 г. с разбивкой по кварталам.

Уt+1 = (a * Х + b) * I j/100

У1 = (1,132*13+51,75)*79,35/100= 52,74

У2 = (1,132*14+51,75)*97,3/100= 65,77

У3 = (1,132*15+51,75)*114,25/100= 78,52

У4 = (1,132*16+51,75)*109,7/100= 76,64

Заносим результаты прогноза в таблицу.

Наносим полученные данные на график, продолжая линию.

9. Средняя относительная ошибка.

Сумма значений в графе 12/на количество периодов базы прогноза 144,97/12 = 12,08 %.

Варианты контрольных работ

Вариант 1.

Задание 1. Имеются данные численности наличного населения города Х за 1999-2007 гг. (на начало года), тыс. чел.

				118,6		117,9	117,7	117,4

1. Постройте прогноз численности наличного населения города Х на 2008-2009 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.

2. Постройте график фактического и расчетных показателей.

3. Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.

4. Сравните результаты.