Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников «вероятность» поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.
Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.
Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить «вероятность» своего возвращения «со щитом» или «на щите», знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Но они были еще очень далеки от теории вероятностей.
Позднее, с опытом, человек все чаще стал планировать случайные события – наблюдения и опыты, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Вот простейший опыт – подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба происходит примерно в половине случаев. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону. Для тех, кто обладает склонностью к исследованиям, появляется соблазн накопить побольше таких закономерностей и попытаться построить из них теорию.
|
|
Рис. 6
Рассмотрим другой, более сложный пример — эксперимент с так называемой доской Гальтона (рис. 6). Доска размещена вертикально. Из верхнего резервуара стальные шарики катятся (на отдельных участках падают) вниз и накапливаются в нижних гнездах.
Каждый шарик, встретив на своем пути очередное препятствие, отклоняется или влево или вправо, а затем падает вниз. Шарик, конечно, может попасть в любое из гнезд.
Между тем правильное расположение шариков (симметричное, при котором в центральных гнездах их много, а в крайних мало), повторяющееся от эксперимента к эксперименту, убедительно свидетельствует о существовании объективного закона их распределения. Когда шариков много, то говорят, что они распределены по нормальному закону.
Итак, случайности могут подчиняться относительно простым и более сложным закономерностям. Но, спрашивается, где же математика, где математические задачи?
Наиболее интересные для начинающих задачи теории вероятностей возникли в области азартных игр, хотя формированию основ теории вероятностей способствовали также выяснение длительности жизни, подсчет населения, практика страхования. К азартным играм относили бросание шестигранных игральных костей.[1] Например, при бросании двух костей трудным («азар») считалось появление в сумме двух или двенадцати очков.
|
|
В 1494 году итальянский математик Л. Пачоли (1445–1514) опубликовал энциклопедический труд по математике, в котором разбирал проблему справедливого разделения ставки. Сам Пачоли верного решения не нашел. Он предлагал разделить ставку, не учитывая числа партий, которые нужно еще выиграть, чтобы получить всю ставку.
Спустя без малого пятьдесят лет, другой итальянский математик Д. Кардано (1501–1576) подверг рассуждения Пачоли справедливой критике, но и сам предложил ошибочное решение.
Прошло еще 100 с лишним лет, и в 1654 году задача была, наконец, решена в ходе переписки между двумя выдающимися французскими математиками Б. Паскалем (1623–1662) и П. Ферма (1601–1665).
В 1718 году в Лондоне вышла в свет книга со странным по тем временам названием «Учение о случаях». Ее автор – французский математик А. Муавр (1667–1754). Самое большое его достижение – открытие закономерности, которая очень часто наблюдается в случайных явлениях. Он первым заметил и теоретически обосновал роль «нормального» распределения (вспомните опыт Гальтона). Закон нормального распределения имеет важное практическое значение. Оказывается, что так распределяется скорость газовых молекул, вес новорожденных и много других случайных событий физической и биологической природы.
Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П. Лапласом (1749–1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей».
П. Лаплас не мог предусмотреть, что пройдет несколько десятилетий и интерес к теории вероятностей снизится. А так на деле и случилось. Во второй половине XIX века и в начале XX века некоторые математики перестали интересоваться теорией вероятностей как математической дисциплиной.
Чем объясняется такое безразличие некоторых математиков к теории вероятностей? Причин много. Но здесь мы раскроем только одну.
Вероятность события была определена Лапласом так:
, (1.3)
где п – общее число равновозможных событий, a m – число тех событий, когда происходит нужный исход («благоприятствующее событие»).
Кажется, что все в порядке – к лапласовскому определению вероятности события никак не придраться. Но вот вопрос: когда и какие случайные события можно считать равновозможными?
Рождается ребенок. Мальчик или девочка – кажется, равновозможные события (одно из двух, как и при бросании монеты). Но оказывается, что статистика рождений не вполне согласуется с нашим «кажется».
Она может быть, например, такой:
Год | Число родившихся детей | Число родившихся мальчиков | Число родившихся девочек | Частота рождения мальчиков | |
Польша Швеция | 1927 1935 | 958 733 88 273 | 496 544 45 682 | 462189 42 591 | 0,518 0,517 |
Если в разное время в разных странах мальчиков рождается больше, чем девочек, значит, вероятности рождения мальчика или девочки неодинаковые: вероятность события «родился мальчик» больше .
Вспомним о подбрасывании монеты (см. об этом выше). Откуда у нас уверенность, что вероятность выпадения герба, когда подбрасывание неограниченно повторяется, равна ?
Факты, обнаруживающие, что объективная реальность не обязательно совпадает с человеческим «кажется», послужили причиной сомнений в правомерности понятия «равновозможные события». Возникла потребность «перепроверять» вероятности, которые вычислялись по лапласовской формуле , экспериментами.
Противоречия, которые проявились при оценке вероятности некоторого события и частоты того же события не могли понравиться многим математикам, которыезаботились о строгости науки. Вместе с тем распространению «антивероятностных» взглядов способствовало опубликование ряда парадоксов. Один из наиболее характерных парадоксов – парадокс Бертрана.
|
|
Стойко защищали позиции теории вероятностей русские математики. В 1846 году Петербургская Академия наук издала книгу В. Я. Буняковского (1804–1889) под названием «Основания математической теории вероятностей». Это был первый русский учебник по теории вероятностей. По нему учился и выдающийся русский математик П. Л. Чебышев. Хотя он по теории вероятностей написал не так уж много трудов, но все они сохраняют первостепенное значение вплоть до наших дней. Так называемое неравенство П. Л. Чебышева на веки веков вошло в сокровищницу математической науки.
Ученик П. Л. Чебышева А. А. Марков развил труды своего учителя. Ему принадлежит слава открывателя важной области применения теории вероятностей – теории вероятностных, или стохастических, процессов.
Наследие русских математиков получило развитие в работах советских математиков Е.Е. Слуцкого, С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина, Ю.В. Линника и особенно академика А.Н. Колмогорова. Созданная А.Н. Колмогоровым советская школа теории вероятностей завоевала всеобщее признание и сегодня занимает ведущие позиции в мировой науке.