Пусть область определения функции содержит окрестность точки , . Функция называется дифференцируемой в точке , если для любых из этой окрестности
(5.3),
где и .
Линейная часть приращения называется полным дифференциалом функции в точке .
График функции , определяемой равенством (5.4),называется касательной плоскостью к графику функции в точке .
(5.4)
Если дифференцируема в точке , то непрерывна в и дифференцируема по каждому из переменных . Однако если функция непрерывна и дифференцируема по каждому из переменных в точке , то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Если же непрерывно дифференцируема в точке , то дифференцируема в точке .
Если дифференцируема в точке , то существует производная по направлению функции в относительно произвольного единичного вектора , которая вычисляется по следующей формуле:
(5.5),
где - угол между вектором и положительным направлением осей координат.
Если же дифференцируема по каждой из координат в точке , то вектор называется градиентом функции в точке и обозначается символом .
|
|
Если дифференцируема в точке , то в общем случае
(5.6),
где справа стоит скалярное произведение. Если при этом - вектор в касательной плоскости к поверхности уровня , то
(5.6*)
Свойства градиента:
1. Градиент функции перпендикулярен поверхности уровня .
2. Направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции (т.е. направление наибольшей производной по направлению).