Функция ограничения на полном множестве состояния

Состояние системы на полном множестве состояний неравнозначны. Одни состояние более другие менее предпочтительны, третьи практически не осуществлены. Неравнозначность состояния задается в виде функции ограничения. В общем случае она представляет собой отображение полного множества состояний:

f₀: C → P,

где Р — заданное множество.

Предположим, что на множестве интервалов наблюдений объекта для функции ограничения справедливо условие:

f₀ = 1, если с ⊂ C^,

f₀ = 0, если с П _in; C^,

где с — вектор состояния системы, C^ — подмножество полного множества состояний.

В этом случае функция ограничения образует замкнутое множество состояний C^. Такие системы будем называть замкнутыми. В обратном случае, когда от интервала к интервалу наблюдения состав элементов C^ меняется, т.е. функция ограничена для интервалов наблюдений, f₀ⁱ ≠ f₀^j не множественны, то система будет разомкнутой.

Рассмотрим отображение в интервале наблюдения Т множества моментов времени измерений примененных на множестве наблюдаемых состояний C^.

f₀: C^ → Т, Т → C^

Здесь возможны два случая. В одном отображение однозначно, в другим — многозначно.

В случае однозначного отображения, т.е. когда одному значению времени соответствует только одно состояние системы, последняя будет детерминированной. Если отображение многозначно, т.е. одному значению времени допускается два и более состояний, то система будет стохастической.

Для детерминированной системы функция ограничения имеет вид:

f₀ = 1, если при t = t_i, C = C_i

f₀ = 0, если при t = t_i, C ≠ C_i

У стохастической системы в момент наблюдения t = t_i состояние системы С ∈ C^ является случайным. Ограничение полного множества состояний системы в этом случае задается нечеткими функциями типа вероятности, возможности, правдоподобности и др. В общем случае они представляют отображения вида:

f₀: |С| → [0,1]

При выборе функции ограничения исходят из соотношения мощности полного множества состояний |С| и мощности множества моментов наблюдения |Т|. Если |С| ≤ |Т|, то предпочтительной является функция вероятности. В обратном случае |С| ≥ |Т|, предпочтительней функция возможностей.

Функция вероятности задается в следующем виде:

Р = [P_t, t = {1,|T|}],

где P_t< = N_k/∑N_k

N_k — число наблюдаемых состояний C_k.

|Т| = ∑N_k — общее число наблюдений

Функция возможности определяется следующим образом:

W = [W_k, k={1,k}]

Где W_k = N_k/max N_i, i ∈ |С|

Из приведенных формул видно, что в первом случае наблюденное число состояний системы C_k нормируется относительно общего числа наблюдения |Т|, во втором относительное число состояний с наибольшим значением.