1) Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема на любом отрезке, лежащем в отрезке .
2) (аддитивность интеграла по множеству)
Если функция интегрируема на отрезках и то она интегрируема и на отрезке . При этом выполняется равенство
.
3) Если функция интегрируема на отрезке и произвольная константа, то функция также интегрируема на отрезке . При этом выполняется равенство
.
Это свойство обычно формулируют так: постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла.
4) (аддитивность интеграла по функции) Если функции и интегрируемы на отрезке , то их сумма также интегрируема на отрезке и при этом выполняется равенство
.
5) Интеграл от функции по отрезку равен длине отрезка
.
6) При изменении порядка пределов интегрирования меняется знак определенного интеграла
.
7) Если функция интегрируема на отрезке , то её модуль также интегрируем на отрезке и модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля
.
8) Если функция интегрируема на отрезке и неотрицательна, то ее интеграл также неотрицателен
.
9) Если функции и интегрируемы на отрезке и функция не превосходит функцию , то можно переходить к интегралу в неравенстве
.
10)(оценка интеграла)
.
11) Теорема о среднем.
Пусть . Тогда , такое что .
В случае если непрерывна на отрезке , найдется точка
, такая что .
12) Обобщённая теорема о среднем.
Пусть ; кроме того .
Тогда существует число такое что
.
В случае если непрерывна на отрезке , найдется точка
такая что
.
Пример. При расчёте нагрузки, на определённый узел конструкции получили следующий интеграл (в тоннах). Не вычисляя интеграл, оценить нагрузку на узел.
Так как , то при справедлива оценка для подынтегральной функции Тогда, по свойствам 7) и 10), интеграл оценивается . Отсюда видно, что нагрузка на узел не превосходит тонн или 0,06 грамм, значит эта нагрузка незначительна и ее можно не учитывать.