Распределение сотрудников предприятия по возрасту

Возраст (лет)	Число сотрудников (чел.)
До 25 25 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 и более
Итого:

Для определения среднего возраста персонала найдем середины возрастных интер­валов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно прирав­ниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими:

22,5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст ра­ботников данного предприятия:

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некото­рыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных
вариантов на соответствующие им частоты:

(5.6.)

Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета средне­го курса продажи акций (табл. 5.1.), то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут несколько отличаться):

417,03 х 1850 = 420x700 + 440x200 + 410x950

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметиче­ской равна нулю:

(5.7.)

Для нашего примера:

(420-417,03) х 700 + (440-417,03) х 200 + (410-417,03) х 950 ≈ 0

Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему:

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней
арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

(5.8.)

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, пред­ставляющих собой характеристики вариационного ряда при С = х: ¹

где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же вели­
чину:

(5.9.)

Так, если все курсы продажи акций увеличить на 15 руб., то средний курс также увеличится на 15 руб.:

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то
средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

(5.10.)

¹ При С=0 получают начальные моменты (начальный момент 1-го порядка - средняя арифметическая и т.д.).

Предположим, курс продажи в каждом случае возрастет в 2 раза. Тогда и средний курс также увеличится на 100%:

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

(5.11.)

Так, в нашем примере удобнее было бы рассчитывать среднюю, предварительно поделив все веса на 100:

Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между со­бой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической не-взвешенной приведут к одному и тому же результату.

Кроме средней арифметической при расчете статистических показателей могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае, в зависимо­сти от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель ис­ходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе:

Таблица 5.6.