Опр. Диф-м функции в х0 наз. линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.
d f(х0)= f ′ (х0) ∆х; ∆х=dх; df(х0)= f ′ (х0) dх
Геометрический смысл. Уравнение касательной в х0 эквивалентно уравнению
у =f(х0)+ f ′ (х0) ∆х (***)
сравнивая (**) и (***) видим, что расстояние от точки Р(х, f (x)) на графике до точки Q (x, f(х0)+ f ′ (х0) ∆х) на касательной равно α(∆х)∆х, т.е. является бесконечно малой более высокого порядка, чем ∆х, когда ∆х→0.
Вывод: геометрический смысл дифференцируемости f (x) в точке х0 состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.
Приближенные вычисления.
D f (x0)»f '(x0) Dx
f (x0+Dx)- f (x0)» f '(x0) Dx Dx®0
f (x0+Dx)= f (x0)+ f '(x0) Dx
Эластичность функции и ее свойства.
Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел
Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).
Δx ® 0
Говорят также, что Еxy(x0) – это коэффициент эластичности y по x.
(При достаточно малых Δx выполняется приближенное равенство
|
|
(Δy/y): (Δx/x)» Еy Þ Δy/y» Еy Δx/x.
Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)
Еyx(x0) = lim ([(f(x0 + Δx) – f(x0))/f(x0)]: [Δx/x0]) = (x0/f(x0))f’(x0)
Δx®0
Ey = (x/y)y’.
Если y’/y представить как логарифмическую производную, то получается
Ey = x(lny)’
x = 1/(1/x) = 1/(lnx)’ Þ Ey = (lny)’/(lnx)’
Свойства эластичности (эластичность во всех последующих примерах будет браться по x)
1) Eky = Ey
Eky = x (ln (ky))’ = x (ln k + ln y)’ = x(ln y)’ = Ey
2) Euv = Eu + Ev
Euv = x (ln uv)’ = x (ln u + ln v)’ = x(ln u)’ + x(ln v)’ = Eu + Ev
3) E u/v = E u – Ev
4) y = y1 + y2; y1, y2 > 0
Emin £ Ey £ Emax
Emin = min {E(y1), E(y2)}
Emax = max {E(y1), E(y2)}
(Лемма a/b, c/d – дроби; a/b £ c/d Þ a/b £ (a+c)/(b+d) £ c/d)
E(y) = y’x/y
E (y1 + y2) =((y1 + y2)’/ (y1 + y2))•x = ((y1’ + y2’)/ (y1 + y2))•x
E(y1) = (y1’/y1)x; E(y2) = (y2’/y2)x
Из леммы получаем: (y1’/y1)x £ ((y1’ + y2’)/ (y1 + y2))•x £ (y2’/y2)x Þ
Þ Emin £ Ey £ Emax
5) Для функций y = f(x) и x = g(t) эластичность y по tв точке t0 удовлетворяет следующему равенству:
Eyx(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0).
Eyt(t0) = (ln y)’t = (ln y)’t (ln x)’t = (ln y)’x xt’ Ext(t0) = Eyx(g(t0))Ext(t0)
(ln t)’t (ln x)’t (ln t)’t ( ln x)’x xt’
6) Для функции y = f(x) эластичность обратной функции x = g(y) в точке x0 удовлетворяет соотношению:
Exy(y0) = E –1yx(g(y0)).
Поскольку g (y) – обратная функция, то выполняется тождество
f(g(y)) = y
По свойству 5) получается Eyx(g(y0))Exy(y0) = Eyy(y0) = lim((Δy/y):(Δy/y)) = 1 Þ
Þ Eyx(g(y0))Exy(y0) = 1 Þ Exy(y0) = E –1yx(g(y0))