Пусть дана квадратная матрица А размера k и степенной ряд
a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn +… Степенным матричным рядом называется ряд, полученный заменой в степенном ряде переменной х на А:
a0 + a1А + a2А2 +…+ anАn +… = n=0S¥ anАn.
l - собственное значение матрицы А, если найдется ненулевой собственный вектор х, для которого выполняется равенство Ах = lх
Матричный степенной ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится степенной ряд a0 + a1l + a2l2 +…+ anln +… = n=0S¥ anln (*) для каждого собственного значения l матрицы А.
Доказательство: Пусть матричный ряд сходится и l - собственное значение матрицы А с собственным вектором х. Пусть В = n=0S¥ anln, Вх – вектор. Т. к. для любого натурального n выполняется равенство Аnx = lnx, то справедливо равенство Вх = n=0S¥ anlnх Þ сходимость ряда (*).
Для доказательства достаточности можно рассмотреть случай, когда собственные векторы матрицы А образуют базис пространства Rk. Для проверки сходимости ряда a0 + a1А + a2А2 +…+ anАn +… = n=0S¥ anАn достаточно проверить, что для любого вектора х пространства Rk сходится ряд из векторов a0х + a1Ах + a2А2х +…+ anАnх +…
|
|
Если х – собственный вектор матрицы А, то ряд
a0х + a1Ах + a2А2х +…+ anАnх +… (**) сходится по условию. В общем случае вектор х представляется в виде линейной комбинации собственных векторов. Поэтому ряд (**) также представляется в виде линейной комбинации рядов такого же типа для собственных векторов, каждый из которых сходится. Следовательно, сходится и ряд (**) Þ теорема доказана.
Дифференциальные уравнения.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Модели экономической динамики с непрерывным временем.