Нормальные операторы

Def: Линейный оператор А называется нормальным, если А ^* А = АА ^*.

1° Из определения: любой унитарный оператор является нормальным.

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда А и А ^* имеют общий собственный

вектор е, такой, что || e || = 1, Ae = l e, A ^* e = .

◀ Пусть λ – собств. ззначение оператора А. Обозначим R _λ – собственное подпространство оператора А, т.е. множество х Î V, Ах = l х.

Пусть х Î R _λ, Ах = l х. Тогда А (A ^* х) = (АA ^*) х = (A ^* А) х = A ^*(Ах) = A ^*(l х) = l(A ^* х).

Получили А (A ^* х) = l(A ^* х), A ^* х Î R _λ. Итак, х Î R _λÞ A ^* х Î R _λ, т.е. оператор A ^* действуют из R _λ в R _λ. Следовательно $ е Î R _λ, || e || = 1, такой, что A ^* e = m e (собственный вектор А ^*), но е Î R _λ (собственный вектор А); Ах = l e; A ^* e = m e. При этом l = l(e, e) = (l e, e) = (Ae, e) = (e, A ^* e) = (e, m e) = (e, e) = ▶

Тº. Пусть А – нормальный оператор. Тогда существует ортонормированный базис

{ e_k }, состоящий из собственных векторов А и А ^*.

◀ 1) по предыдущей теореме $ е ₁Î V, || e ₁|| = 1 и являющийся общим собственным вектором операторов А и А ^* с собственными значениями l₁, соответственно.

Пусть V ₁ = ℒ^{^}(e ₁) Þ V = ℒ(e ₁) Å V ₁. Это значит, что если x Î V ₁Þ x ^ e ₁.

x Î V ₁Þ (Ax, e ₁) = (x, A ^* e ₁) = (x, e ₁) = l₁(x, e ₁) = 0;

(A ^* x, e ₁) = (x, Ae ₁) = (x, l₁ e ₁) = (x, e ₁) = 0, т.е. Ax, A ^* x Î V ₁.

Следовательно операторы А и А ^* действуют в V ₁.

2) Тогда А и А ^* имеют в V ₁ общий собственный вектор е ₂ (е ₂Î V ₁, е ₂^ е ₁, || e ₂|| = 1) с собственными значениями l₂, соответственно. Пусть V ₂ = ℒ^{^}(e ₁, e ₂) Þ V = ℒ(e ₁, e ₂) Å V ₂, Это значит, что если x Î V ₂, то х ^ е ₁, х ^ е ₂.