На основе выборочных данных о деятельности 6 предприятий одной из отраслей промышленности Российской Федерации оценить тесноту связи между трудоемкостью продукции предприятия (X, чел.-час.) и объемом ее производства (Y, млн. руб.)
Таблица 8.7.
Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции
№ п/п | Объем произведенной продукции, млн. руб., Y | Затраты на 100 изделий, чел.-час,X | yx | y2 | x2 |
Сумма | |||||
Средняя | 744,33 | 83,67 | 60400,67 | 632056,33 | 7046,67 |
1. Используя формулу (8.4), получаем:
2. По формуле (8.5) значение коэффициента корреляции составило:
Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками.
В случае наличия линейной или нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.
Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки, когда δ2характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от 1бщей средней:
|
|
(8.7)
где η - корреляционное отношение;
σ2 - общая дисперсия;
σ¯2 - средняя из частных (групповых) дисперсий;
δ2 - межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних).
Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака.
Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:
(8.7.)
где δ2 - дисперсия выровненных значений результативного признака, то есть рассчитанных по уравнению регрессии;
σ2 - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака;
σ2ост - остаточная дисперсия.
Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0≤ η ≤1)
Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, то есть при исследовании трех и более признаков одновременно, вычисляется множественный и частные коэффициенты корреляции.
Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.
Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле:
(8.9.)
Где ryxi - парные коэффициенты корреляции между признаками.
Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по
определению положителен: О≤ R ≤1. Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.
На основе данных таблицы 8.4 рассчитаем коэффициент множественной корреляции:
|
|
Множественный коэффициент корреляции составит:
Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками x1 и x2 при фиксированном значении других (k-2) факторных признаков, то есть когда влияние x3 исключается, то есть оценивается связь между x1 и x2 в «чистом виде».
В случае зависимости у от двух факторных признаков x1 и x2 коэффициенты частной корреляции имеют вид:
(8.10.)
Где r - парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.
В первом случае исключено влияние факторного признака х2, во втором – х1. На основании приведенных выше данных о зависимости трех факторов деятельности предприятий вычислим частные коэффициенты корреляции (табл. 8.4):