Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Дискретное преобразование Фурье основано на дискретизации непрерывных сигналов.

Пусть спектр сигнала U(t), заданногона интервале T, ограничен верхней частотой F_В.

Тогда в соответствии с теоремой Котельникова (теоремой отсчетов Винера) такой сигнал может быть представлен своими дискретными значениями U_n (n=0,1…N-1), взятыми через интервалы времени

Δt=1/2F_В

Число дискретных значений – отсчетов сигнала будет равно N=T/Δt.

Тогда при условии дискретизации сигнала соотношение для расчета гармоник спектра

следует записать в виде суммы, заменив

- текущее время

окончательно дискретное преобразование Фурье принимает вид

(10)

Рассмотрим некоторые свойства дискретного преобразования Фурье.

1. Сравним гармоники при k=0 и k=N;при k=1 и k=N+1 т.е отстоящих на N:

Т.к. индексы отсчетов n –целочисленные значения

то exp(-j2πn)=cos(2πn) – j*sin(2πn)=1

и c_N=c₀

То есть c₁=c_N₊₁

Таким же образом можно показать, что c₂=c_n₊₂ и т.д.

Т.е. при дискретном преобразовании Фурье число рассчитываемых гармоник равно числу отсчетов N. (Далее значения гармоник повторяются).

2. Рассмотрим гармоники c₁ и c_N_-1 c₂ и c_N_-2, т.е. симметричные относительно гармоники c_N_/2

Также и и т.д

Т.е. гармоники, симметричные относительно c_N_/2, являются комплексно сопряженными.

(11)

Обратное преобразование Фурье выполняется по формуле:

Для выполнения дискретного преобразования Фурье (прямого и обратного) при прямом использовании соотношений (10) (11) потребуется N*N операций комплексных умножений и сложений (операция умножения требует больших временных или аппаратурных затрат по сравнению с операций суммирования).

Для уменьшения временных затрат для выполнения дискретного преобразования Фурье разработаны различные алгоритмы быстрого преобразования Фурье, основанные на прореживании данных по времени или по частоте. Для БПФ число отсчетов сигнала N должно быть степенью числа 2. Тогда необходимое число операций для полного преобразования Фурье составит N*log₂N.

В пакете Mathcad имеются строенные функции для ДПФ:

c:=FFT(U) U:=IFFT(c)

FFT - прямое быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Преобразуемая переменная U должна быть представлена вектором вещественных чисел размерностью N=2^m m>2. Результат преобразования FFT – вектор комплексных чисел размерностью 1+2^m-1 (иными словами FFT вычисляет только часть возможных гармоник c_k k:=0…N/2 без комплексно сопряженных гармоник – см. свойство 2)

IFFT - обратное быстрое преобразование Фурье

Здесь c – вектор комплексных чисел (гармоники) размерностью 1+2^m-1 m>2.

IFFT –возвращает вектор вещественных чисел размерностью N=2^m

Многомерное преобразование Фурье

G:=CFFT(A) A:=ICFFT(G)

Данные преобразования применимы как к векторам, так и к матрицам комплексных чисел. Как прямое преобразование CFFT, так и обратное ICFFT возвращает вектор или матрицу той же размерности, что и преобразуемый вектор или матрица. При этом не накладывается ограничений типа равенства размерности строк или колонок степени числа 2.

Комплексное преобразование Фурье CFFT может быть применено и вектору вещественных чисел U вместо FFT, если, к примеру, не удается обеспечить требование равенства N=2^m. Однако, если над гармониками затем выполняется некое преобразование, например, моделируется прохождения сигнала через частотно зависимое устройство в виде:

то в силу комплексной сопряженности гармоник, симметричных относительно c_N_/2, обратное преобразование ICFFT уже не обеспечит получение временной функции (вида сигнала) на выходе.

Ниже приведены амплитудный и фазовый спектры сигнала (прямоугольного импульса), полученные с использованием функций FFT и CFFT.

а)

б)

Рис.2. Амплитудный и фазовый спектры, полученные с помощью FFT (а) и CFFT (б).

Кроме того, в Mathcad предусмотрены встроенные функции

c:=fft(U) U:=ifft(c)

которые выполняются по формулам

Как видно из приведенных формул, гармоники спектра, рассчитанные по fft, по амплитуде в 1/√N будут больше и комплексно сопряжены по сравнению с гармониками, рассчитанными по FFT.

(Соответственно, следует пользоваться парами FFT – IFFT или fft - ifft)

Аналогично действуют и функции комплексного преобразования Фурье cfft – icfft.

Примечание:

При описании формирования сигналов использованы обозначения переменных

T:= t:=0…T-1

и сигнал рекомендуется сразу задать в виде вектора U_t, т.е. сигнал фактически представлен в виде дискретных отсчетов для последующего дискретного преобразования Фурье. Иными словами, значению числа отсчетов N, использованному в описании выше соответствует значение T, а индексам n значения t.

3. Примеры расчета спектров некоторых сигналов