Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость v0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 - Д1.9, табл. Д1).
На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках).
В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила F, проекция которой Fx на ось х задана в таблице.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения
груза на участке ВС, т.е. х = f(t), где х = ВD. Трением груза о трубу пренебречь.
Указания. Задача Д1 - на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти к переменному х, учтя, что .
|
|
На первом участке, где все силы постоянны, можно воспользоваться и теоремами об изменении количества движения или кинетической энергии точки.
Таблица Д1
Номер | m, кг | v0, м/с | Q, H | l, м | t1, c | Fx, H | |
условия | |||||||
2.4 | 1.5 | - | 4sin(4t) | ||||
- | 2.5 | -5cos(4t) | |||||
- | 6t2 | ||||||
1.8 | - | -2cos(2t) | |||||
- | -5sin(2t) | ||||||
4.5 | - | 3t | |||||
2.5 | - | 6cos(4t) | |||||
1.6 | - | -3sin(4t) | |||||
4.8 | - | 4cos(2t) | |||||
- | 4sin(2t) |
Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действуют сила тяжести и постоянная сила Q; расстояние от точки А, где v = v0, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F(t), заданная в ньютонах.
Дано: m = 2 кг, Q=4 Н
v0 = 5 м/с, l = 2.5 м, Fx = 16sin(4t).
Определить: x= f(t) - закон движения груза на участке ВС.
Решение. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы P = mg и R. Проводим ось АZ и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
|
|
или (1)
Далее находим: PZ = P = mg, Учтя, что vz = v, получим
(2)
Разделяя в уравнении (2) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим
.
По начальным условиям при z = 0 v = v0, что дает С1 = 12,5
В результате находим
(3)
Полагая в равенстве (3) z = l = 2.5 м, определим скорость vB груза в точке В:
= 8,06 м/с.
Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость vB будет для движения на этом участке начальной скоростью (v0 = vB). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы P = mg, N и F.
Проведем из точки В ось ВХ и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
. (4)
Так как Рх = Psin30° = 0.5 mg, Nx = 0, Fx = 16sin(4t), то уравнение (4) примет вид
.
Разделив обе части равенства на m = 2 кг и полагая опять g @ 10 м/с2 , получим
.
Умножая обе части уравнения на dt и интегрируя, найдем
vx = 5t - 2cos(4t) + C2.
Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 vx = v0 = vB., Подставляя эти величины в (11), получим
С2 = vB + 2cos0 = 8,06 + 2 =10,06
Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем
x = 2.5 t2 - 0.5sin(4t) + 10,06t + C3
Так как при t = 0 x = 0, то С3 = 0 и окончательно искомый закон движения груза будет x = 2.5t2 + 10,06t - 0.5sin(4t)
Задача Д2
Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты массой m1 = 18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m2 =6 кг (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). В момент времени t0 = 0, когда скорость плиты u0 = 2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.
На рис. 0-3 желоб KE прямолинейный и при движении груза расстояние S = AD изменяется по закону S = f1(t), а на рис. 4-9 желоб – окружность радиуса R = 0,8 м и при движении груза j = ÐAC1D изменяется по закону j = f2(t). В табл. Д2 эти зависимости даны отдельно для рис. 0 и 1, для рис. 2и3 и т.д., где S выражено в метрах, j - в радианах, t – в секундах.
Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями определить вертикальную реакцию направляющих и скорость плиты при t=1c.
Таблица Д2
Номер условия | S = f1(t) | j = f2(t) |
Рис.0-3 | Рис. 4-9 | |
0,8 sin (pt/3) | pt/3 | |
1,2 cos (pt/2) | pt/4 | |
0,6 (2t2-1) | pt/6 | |
0,4 sin (pt/6) | 2pt/3 | |
0,5 cos (pt/6) | p(1+t)/6 | |
0,6 sin (pt/4) | p(t/3-1)/4 | |
0,8 (2-3t2) | p(t-1)/2 | |
0,6 cos (pt/3) | p(t+1)/3 | |
1,2 sin (pt/6) | p(t-1)/6 | |
0,8 cos (pt/4) | p(t+1)/6 |
Указания. Задача Д2 – на применение теоремы о движении центра масс (для определения N = f(t)) и на применение теоремы об изменение количества движения системы (для определения u = f(t)).
Пример Д2. Прямоугольная вертикальная плиты массой m1, движется вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д2). В момент времени t0 = 0, когда скорость плиты u0 = 1 м/с, груз D массой m2 под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты окружности радиуса R = 1 м по закону j = ÐAC1D.
Д а н о: m1 = 15 кг, m2 =5 кг, u0 = 1 м/с, R = 1 м, j =pt2/6 рад (t – в секундах). Определить вертикальную реакцию направляющих и скорость плиты при t=1c.
Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести и реакцию направляющих . Проведем координатные оси Оxy так, чтобы ось y проходила через точку С10, где находился центр масс плиты в момент времени t0 = 0.
а) Определение реакции N. Для определения N = f(t) воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальные уравнения движения центра масс системы в проекции на вертикальную ось у (рис. Д2):
или (1)
Отсюда получим, учтя, что P1=m1g:
(2)
По формуле определяющей ординату yc центра масс системы,
где ,
|
|
получим
или
Продифференцировав обе части этого равенства по времени, найдем