Свободными называются колебания точки, происходящие под действием только восстанавливающей силы. Сила называется восстанавливающей, если она все время стремится вернуть точку в положение равновесия. Примером восстанавливающей силы является сила упругости пружины. Если восстанавливающая сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия, то она называется линейной восстанавливающей силой.
Пусть на точку М массой m действует линейная восстанавливающая сила упругости (рис. 2): Fупр = сΔ, где с – жесткость пружины (физический смысл жесткости - это сила, необходимая для деформации пружины на единицу длины), в Н/м; Δ – деформация пружины, м.
На рис. 2 l0 – длина недеформированной пружины. Выбрав начало координат в положении равновесия – т. О, запишем основное уравнение динамики в проекции на ось x: , или .
Отсюда получим (4)
Выражение (4) – это и есть уравнение свободных колебаний точки. Здесь называется круговой частотой колебаний (физический смысл: число колебаний за 2π секунд), с-1. Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет вид:
|
|
. (5)
Взяв производную по времени, имеем
. (6)
Постоянные интегрирования С 1 и С 2 найдем из начальных условий:
при . (7)
Подставив (7) в (5) и (6), находим .
С учетом этого решение (5) принимает вид:
. (8)
Решение (8) можно записать в виде:
, (9)
где - амплитуда колебаний, м; - начальная фаза колебаний, рад.
Из (9) видно, что свободные колебания являются гармоническими. Период колебаний можно найти по формуле:
. (10)