Спектральная плотность треугольного импульса

Найдем спектральную плотность треугольного импульса, изображенного на рис. 2.15, а. Ее можно вычислить путем непосредственного применения преобразования Фурье (2.12), однако это несколько громоздко, так как получающиеся при этом интегралы приходится вычислять по частям. Значительно проще и изящнее оказывается метод, основанный на применении теорем о спектрах.

Продифференцируем треугольный импульс один раз (рис. 2.15, б) и затем еще один раз (рис. 2.15, в). Получающийся при этом сигнал состоит из трех
d-функций, причем каждая из них умножается на высоту соответствующего скачка первой производной исходного сигнала:

. (2.28)

Зная спектральную плотность d-функции и используя теорему о запаздывании, запишем выражение для спектральной плотности второй производной треугольного импульса:

(2.29)

Используя формулу Эйлера, получаем:

.

Чтобы определить искомую спектральную плотность треугольного импульса, нужно спектральную плотность второй производной разделить на (jw)²

. (2.30)

Преобразуем выражение (2.30) к виду, более удобному для анализа:

. (2.31)

График спектральной плотности треугольного импульса изображен на рис. 2.16.

По сравнению со спектральной плотностью прямоугольного импульса спектральная плотность треугольного импульса имеет более низкий уровень боковых лепестков: первый лепесток равен 0,04 от максимума по сравнению с 0,2 для прямоугольного импульса, и с повышением частоты уровень боковых лепестков убывает как 1/ w ² (для прямоугольного импульса – как 1/ w). Это объясняется тем, что треугольный импульс имеет более гладкий характер, чем прямоугольный, в нем отсутствуют вертикальные фронты, для формирования которых нужен достаточно высокий уровень высокочастотных составляющих спектра.