Ускорение точки

Величину, определяющую изменение вектора скорости точки в зависимости от времени, называют ускорением точки.

Пусть движение точки задано естественным способом (рис. 4.3), а траекторией движения точки является дуга окружности. Допустим, что в некоторый момент времени t точка занимала положение М на траектории и имела скорость v, а в момент времени t₁=t + Dt – положение М₁ и скорость v₁. Перенесем вектор v₁ в точку М и построим вектор

. (4.4)

Вектор называется вектором приращения скорости. Вектор равен отношению приращения скорости к соответствующему приращению времени Dt.

. (4.5)

О

R

M

M1

v1

N

L

K

v

n

t

Рис. 4.3

Вектором ускорения точки в момент времени t называется предел вектора среднего ускорения при стремлении промежутка времени Dt к нулю.

. (4.6)

От точки М отложим по линии действия вектора вектор , равный по абсолютной величине вектору . Приращение скорости представим в виде:

. (4.7)

Тогда

. (4.8)

Вычислим первый предел. Для этого введем на касательной к траектории движения точки в точке М единичный вектор .

, (4.9)

где Dv_a – приращение алгебраической величины скорости.

. (4.10)

- тангенциальное (касательное) ускорение точки, характеризующее изменение алгебраической величины вектора скорости.

Второй предел

. (4.11)

Вектор направлен перпендикулярно касательной к траектории движения точки, причем в сторону ее вогнутости. Вектор носит название нормального ускорения точки и характеризует изменение направления вектора скорости. Введем на нормали единичный вектор n и запишем формулу для полного ускорения точки

. (4.12)

Модуль и направляющие косинусы полного ускорения найдутся по формулам:

, (4.13)

(4.14)

где a - угол между направлением вектора полного ускорения и единичного вектора t, b - угол между направлением вектора полного ускорения и единичного вектора n.