Пусть материальная точка М движется прямолинейно по оси x. На точку при ее движении действуют восстанавливающая сила и сила сопротивления (рис. 9.3). Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости: , , получим дифференциальное уравнение движения в виде
(9.12)
Разделив обе части уравнения на m и вводя обозначения и , приведем уравнение к виду
. (9.13)
О |
М |
x |
F |
R |
v |
Рис. 9.3 |
. (9.14)
Рассмотрим случай, когда k > b, то есть когда сопротивление мало по сравнению с восстанавливающей силой. Введем обозначение
, (9.15)
получим из (9.14), что , то есть корни характеристического уравнения являются комплексными. Тогда решение уравнения (9.13) будет иметь вид
(9.16)
или, по аналогии с равенством (9.5),
. (9.17)
Величины а и a являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.
0 |
t |
x |
x1 |
x2 |
T1 |
Рис. 9.4 |
Промежуток времени Т1, равный периоду называют периодом затухающих колебаний.
, (9.18)
Если учесть равенство (9.7), формулу (9.18) можно представить в виде
. (9.19)
Из полученных зависимостей видно, что Т1> Т, то есть при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Но если сопротивление мало (b<< k), то величиной по сравнению с единицей можно пренебречь и считать Т1» Т.
Промежуток времени между двумя последовательными отклонениями колеблющейся точки также равен Т1. Следовательно, если первое максимальное отклонение x1 происходит в момент времени t1, то второе отклонение x2 наступит в момент t2 = t1+ Т1 и т. д. Тогда, учитывая, что , из формулы (9.17) получим:
Аналогично для любого отклонения xn+1 будет . Таким образом, абсолютные значения отклонений колеблющейся точки М от центра О убывают по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии называется декрементом затухающих колебаний, а натуральный логарифм декремента – величина bT1, называется логарифмическим декрементом.
Из полученных результатов следует, что малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает их постепенное затухание.
В случаях, когда b> k или b= k движение точки является апериодическим, то есть оно уже не имеет характера колебательного движения.