Рис. 9.1. |
В электрической цепи (рис. 9.1.) с параметрами R =50 Ом; L =0,25 Гн; С =50 мкФ; Е =100 В, выполнить следующее:
· используя классический метод расчета переходного процесса, определить аналитическую зависимость, описывающую изменение тока i1(t), возникающее в результате коммутации;
· используя операторный метод расчета переходного процесса, определить аналитическую зависимость, описывающую изменение тока i1(t), возникающее в результате коммутации;
· используя полученные аналитические зависимости построить график изменения тока i1(t), демонстрирующий его переход от одного установившегося значения к другому.
Решение классическим методом
1. Расчет режима до коммуникации.
- Токи в ветвях цепи
i 1(0_) = i 2(0_) = = 1 A; i 3 (0_) = 0.
- Напряжение на конденсаторе
UC (0_) = 0.
2. Независимые начальные условия для схемы сразу после коммутации
По первому закону коммутации i 2(0) = i 2(0_) =1А.
По второму закону коммутации UC (0) = UC (0_) = 0.
Рис. 9.2 |
3. Расчет принужденного режима (рис. 9.2 )
токи в ветвях цепи:
|
|
i 1 пр = i 2 пр = = 2A; i 3 пр = 0.
4. Расчет искомого тока и его производной для момента коммутации (t = 0).
По законам Кирхгофа составляем уравнения для схемы после коммутации
Используя уравнение (2) для момента времени t = 0 с учетом того, что UC (0) = 0, найдем i 1(0) = U / R = 100 / 50 = 2 A.
Из уравнения (1) при t = 0 находим
i 3 (0) = i 1(0) – i 2(0) = 1 A.
Найдем производную искомого тока i 1. Для этого продифференцируем уравнение (2) 0 = , откуда .
Следовательно, .
5. Определение корней характеристического уравнения.
Входное сопротивление для схемы после коммутациив операторной форме Z (p) = .
Откуда характеристическое уравнение
RLCp 2 + Lp + R = 0 или p 2 + . (3)
Решение уравнения (3) дает два корня
p 1,2 = .
После подстановки численных значений заданных величин R =50 Ом и С = 50×10-6 Ф получим:
p 1 = –200 + j 200; p 2 = –200 – j 200.
Так как корни характеристического уравнения (3) получились сопряженными комплексными числами, то переходный процесс в электрической цепи будет иметь колебательный характер.
6. Определение постоянных интегрирования и закона изменения во времени искомого тока i 1.
Переходный ток на неразветвленном участке цепи
i 1= i 1 пр + i 1 св = i 1 пр + A e – d t sin (w 1 t + g),
а его производная = – dА е – d t sin (w 1 t + g) + Aw 1 е – d t cos(w 1 t + g).
Находим значения тока и его производной для момента времени t =0.
После подстановки численных значений имеем систему двух уравнений
2 = 2 + А sin g; (4)
–400 = –200А sin g + А 200 cos g. (5)
Совместные решения уравнений (4) и (5) дают А = –2; g = 0.
Следовательно, искомый ток будет равен
i 1(t) = 2 – 2 е –200 t sin 200 t.
Решение операторным методом
Начальные условия переходного процесса в электрической цепи определены в первом пункте классического метода:
|
|
i 2(0) =1 А; UC (0)= 0.
С учетом этого составим операторную схему замещения цепи (рис. 9.3) и запишем для этой схемы уравнение по законам Кирхгофа
Рис. 9.3 |
Решаем эту систему уравнений относительно тока I 1(p)
(6)
После подстановки численных значений в уравнение (6)
L = 0,25 Гн; С = 50×10–6 Ф; R = 50 Ом; i 2(0) = 1 А; E =100 В получим:
(7)
Для нахождения оригинала определяем корни знаменателя уравнения (7), для чего приравняем его к нулю
р 3 + 400 р 2 + 80000 р = 0.
Решение этого уравнения дает следующие корни:
p 1 = 0; p 2 = –200 + j 200; p 3 = –200 – j 200.
Так как знаменатель имеет три корня, то сумма в формуле разложения состоит из трех слагаемых:
. (8)
Находим числители слагаемых в уравнении (8)
F 1(р 1) = 16×104; F 1(р 2) = (8 – j 8)×104; F 1(р 3) = (8 + j 8)×104.
Производная знаменателя уравнения (7)
F ¢2(р) = 3 р 2 + 800 р + 80000.
Подставим вместо p соответствующие корни и получим знаменатели слагаемых:
F ¢2(р 1) = 80000; F ¢2(р 2) = (– 8 – j 8)×104; F '2(р 3) = (–8 + j 8)×104.
Полученные значения подставим в формулу (8) теоремы разложения
Учитывая, что е j 180°= –1, то – еj (200 t+ 90°)= еj 180° е–j (200 t+ 90°)= е–j( 200 t– 90°).
Окончательно имеем i 1(t)=2–2 e –200 t cos(200 t –90°)=2–2 e –200 t sin200 t.
Вывод: аналитические зависимости, описывающие изменение тока i1(t), полученные классическим и операторным методами, полностью совпадают, что свидетельствует о правильности расчета.
Для построения графика изменения тока i1 в результате коммутациивоспользуемся программным комплексом MathCAD. График приведен на рис. 9.4.
Рис. 9.4