Евклидовым пространством называется линейное векторное пространство с заданным на нем скалярным произведением.
Скалярным произведением на векторном пр-ве наз. отображение
1) симметричность ;
2) линейность ;
3)
Пусть Е-п-мерное Евклидовое пр-во - базис тогда можно расписать в виде тогда обозначим тогда
2 вектора ортогональны равносильно тому, что угол между ними = , т. е. 2 вектора ортогональны т. и т. т. к. их скалярное произведение =0.
Система векторов называется ортогональной, если вектора этой системы попарно ортогональны.
Система векторов наз. ортонормированной, если она является ортогональной и все вектора этой системы имеют единичную длину ортонормированный базис, тогда
в ортонормированном базисе скалярное произведение = сумме произведений соответствующих координат.
Пусть в евклидовом пр-ве Е задан ортонормированный базис . Тогда вектор . Домножим скалярно правую и левую части последнего равенства на . Получим:
Т. о., в ортонормированном базисе координаты вектора равны скалярному произведению этого вектора на соответствующий базисный вектор.
Из любой системы векторов евклидового пространства можно получить ортонормированный базис. Значит в любом евклидовом пространстве ортонормированный базис.