Основные понятия. Теорией устойчивости исследуются вопросы о похождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных значений вызывает сколь угодно малые изменения

Теорией устойчивости исследуются вопросы о похождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных значений вызывает сколь угодно малые изменения решения.

Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений

где существуют и непрерывны и пусть есть решение этой системы, удовлетворяющей при условиям (2):

Def Решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого решения ,той же системы (1),начальные значения которого удовлетворяют неравенствам:

То есть близкие по начальным значениям решения остаются близкими

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения называется не устойчивым.

Def Если решение не только устойчиво, но кроме того удовлитворяет условиям (4)

Если то решение называется асимптотически устойчевым. Вопрос об устойчивости решения системы (1) может быть сведен к вопросу об устойчивости нулевого решения: некоторой новой системы уравнений, получающейся из (1) линейной заменой искомых функций новые неизвестные функции, равные отклонением прежних неизвестных функций от функций , определяющих исследуемое решение. В дальнейшем будем считать, что на устойчивость исследуется именно нулевое решение