Теорема 1: Функция y=f(x) имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем
.
Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x) в этой точке непрерывна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть существует . Тогда
,
где – бесконечно малая при .
⇒ ;
⇒
.
Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке (по геометрическому определению непрерывности). ∎