Временным (динамическим) рядом называется последовательность наблюдений некоторой переменной y в последующие моменты времени
t =1, 2, …, n.
Обычно модель временного ряда представляется в виде уравнения парной регрессии
t= f(t), (5.1)
которое показывает, как в среднем меняется y в зависимости от t. Чаще всего временной ряд рассматривается в виде линейного тренда
t= b0 + b1t. (5.2)
Коэффициент bo и b1 могут быть найдены с помощью метода наименьших квадратов по следующим формулам:
где n – число наблюдений переменных t и y,
Используя временные ряды, можно осуществлять процедуру прогнозирования, которая представляет собой процесс построения умозаключений о будущем на основании имеющейся модели.
Существует два вида прогнозов: точечный и интервальный. Точечный прогноз представляет собой оценку значения прогнозируемой переменной и находится в результате подстановки в линейный тренд t=b0+b1t времени прогноза t = T. Интервальный прогноз представляет собой интервал, который с некоторой априорной вероятностью, называется достоверностью прогноза, содержит неизвестное значение прогнозируемой переменной.
|
|
Пусть T – время прогноза, тогда погрешность прогноза вычисляется по формуле:
ST= , (5.4)
где S – погрешность случайных отклонений, – временная средняя величина. При заданной достоверности прогноза по таблице функции Лапласа определяется соответствующий параметр . Истинное значение прогнозируемой переменной с вероятностью располагается в интервале с центром в точечном прогнозе , то есть
Пример 5.1.
Статистические данные о длине электрофицированных железнодорожных путей (тыс. км) представлены в таблице в виде временного ряда
Год | |||||||||||||||
yt | 3,9 | 4,0 | 4,4 | 4,7 | 5,1 | 5,6 | 6,0 | 6,3 | 6,5 | 6,7 | 6,9 | 7,1 | 7,4 | 7,8 | 8,3 |
Определить точечный и интервальный прогноз на длину таких путей на 1989 год, если достоверность прогноза = 0,95.
Решение:
По данным таблицы, используя метод наименьших квадратов, построим линейный тренд = 3,581 + 0,382t. При этом считаем, что 1970 год соответствует t=1, 1971 год – t=2,… 1984 год – t=15, следовательно 1989 год соответствует t=T=20.
Найдем точечный прогноз: = 3,581+0,38220=9,348 тыс.км. Погрешность случайных отклонений определяем по формуле:
,
откуда по формуле (5.4) погрешность прогноза
=0,203 тыс. км.
Согласно таблице функции Лапласа при = 0,95 имеем = 1,96. Таким образом, интервальный прогноз представлен интервалом
(9,348-0,203 = (9,745; 10,143).
Следовательно с вероятностью =0,95 можно предположить, что в 1989 году длина электрофицированных железнодорожных путей будет находиться в этом интервале.
|
|