Пример 1. Проведем исследование функции и построим эскиз ее графика.
Решение. Область определения функции :
Найдем множество значений функции .
Если , то уравнение имеет единственный корень Значит график функции проходит через начало координат и
Пусть , тогда
Следовательно, . При этом наибольшее значение функции равно , в точке наименьшее значение функции равно , в точке Точки принадлежат графику функции . Данная функция по определению ограничена сверху и снизу и, следовательно, ограничена.
Исследуем функцию на четность:
− область определения функции симметричное относительно начала координат множество;
−
Следовательно, функция нечетная по определению.
График данной функции симметричен относительно начала координат, его можно построить для , а затем симметрично отразить относительно начала координат.
Функция непериодическая.
Определим промежутки знакопостоянства данной функции:
То есть , при ; , при График данной функции лежит выше оси при , ниже оси при
|
|
Определим промежутки монотонности функции .
Пусть . Сравним где имеем
Установим знак выражения
По условию , выражение Определим знак выражения . Для этого заменим имеем:
Следовательно, на и на Таким образом, на и на функция убывает.
Аналогично, на функция возрастает.
Следовательно, – точка минимума функции ; – точка максимума функции .
Точка единственная точка пересечения с осями координат.
Эскиз графика функции приведен на рисунке 87.
Рис. 87
Пример 2. Проведем исследование функции и построим эскиз ее графика.
Решение. Определим область определения функции : Следовательно,
Найдем множество значений функции .
Если , то уравнение не имеет корней. Значит график функции не пересекает ось .
Пусть , тогда
Следовательно, . При этом ни наибольшего, ни наименьшего значения функция не имеет. Значение функция принимает при значение функция принимает при Точки принадлежат графику функции . Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не ограничена. На интервале нет ни одной точки графика функции.
При точка пересечения графика функции с осью
Исследуем функцию на четность. Область определения функции не симметричное относительно начала координат множество, следовательно функция общего вида.
Функция непериодическая.
Определим промежутки знакопостоянства данной функции:
То есть , при ; , при График данной функции лежит выше оси при , ниже оси при
Определим промежутки монотонности функции .
Пусть . Сравним где имеем
Установим знак выражения .
По условию . Определим знак выражения . Для этого заменим имеем:
|
|
Определим знак выражения .
Следовательно, на и на Таким образом, на и на функция убывает.
Аналогично, на функция возрастает.
Следовательно, – точка минимума функции ; – точка максимума функции .
Эскиз графика функции приведен на рисунке 88.
Рис. 88
Пример 3. Проведем исследование функции и построим эскиз ее графика.
Решение. Определим область определения функции :
Следовательно,
Найдем множество значений функции .
Если , то уравнение не имеет корней. Значит график функции не пересекает ось .
Пусть , тогда
Следовательно, . При этом ни наибольшего, ни наименьшего значения функция не имеет. Значение функция принимает при значение функция не принимает. Точка принадлежат графику функции . Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не ограничена. На интервале нет ни одной точки графика функции.
При точка пересечения графика функции с осью
Исследуем функцию на четность. Область определения функции не симметричное относительно начала координат множество, следовательно, функция общего вида.
Функция непериодическая.
Определим промежутки знакопостоянства данной функции:
То есть на , на График данной функции лежит выше оси на , ниже оси на
Определим промежутки монотонности функции .
Пусть . Сравним где имеем
Установим знак выражения .
По условию . Определим знак выражения . Для этого заменим имеем:
Выражение .
Следовательно, на функция возрастает.
Аналогично, на функция убывает.
Эскиз графика функции приведен на рисунке 89.
Рис. 89
Пример 4. Проведем исследование функции и построим эскиз ее графика.
Решение. Определим область определения функции :
Найдем множество значений функции .
Если , то уравнение не имеет корней. Значит график функции не пересекает ось .
Пусть , тогда
Следовательно, . При этом ни наибольшего, ни наименьшего значения функция не имеет. Значение функция принимает при значение функция принимает при Точки принадлежат графику функции . Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не ограничена. На интервале нет ни одной точки графика функции.
При точка пересечения графика функции с осью
Исследуем функцию на четность. Область определения функции не симметричное относительно начала координат множество, следовательно, функция общего вида.
Функция непериодическая.
Определим промежутки знакопостоянства данной функции:
. То есть , при ; , при График данной функции лежит выше оси при , ниже оси при
Определим промежутки монотонности функции .
Пусть . Сравним где имеем
Установим знак выражения .
По условию . Определим знак выражения . Для этого заменим имеем:
Определим знак выражения .
Следовательно, на и на Таким образом, на и на функция убывает.
Аналогично, на функция возрастает.
Следовательно, – точка минимума функции ; – точка максимума функции .
Эскиз графика функции приведен на рисунке.
Рис. 90