Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда
Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:
ξ | … | п | … | ||
р | 0,5 | (0,5)2 | … | (0,5) п | … |
Тогда ..+
+ (при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ).
Дисперсия.
Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида
ξ1 | |||
р | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
ξ2 | ||
p | 0,5 | 0,5 |
Найдем М (ξ1) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М (ξ2) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, математические ожидания обеих величин равны, но если для ξ1 М (ξ1) хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отстоят от М (ξ2). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.
|
|
Определение.
Наряду с числовыми характеристиками положения вводят и другие числовые характеристики. Например, для того чтобы оценить рассеяние случайных величин вокруг математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины ξ от своего математического ожидания.
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:
D (ξ) = M (ξ – M (ξ))².
Для дискретной случайной величины ξ с законом распределения (xi, pi) дисперсия равна
Пример.
Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:
(1 – 2,4)2 = 1,96; (2 – 2,4)2 = 0,16; (3 – 2,4)2 = 0,36. Следовательно,
Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.
|
|
Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.
Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:
Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D (C) = 0. (7.8)
Доказательство. D (C) = M ((C – M (C))²) = M ((C – C)²) = M (0) = 0.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D (CX) = C ² D (X). (7.9)
Доказательство. D (CX) = M ((CX – M (CX))²) = M ((CX – CM (X))²) = M (C ²(X – M (X))²) =
= C ² D (X).
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X + Y) = D (X) + D (Y). (7.10)
Доказательство. D (X + Y) = M (X ² + 2 XY + Y ²) – (M (X) + M (Y))² = M (X ²) + 2 M (X) M (Y) +
+ M (Y ²) – M ²(X) – 2 M (X) M (Y) – M ²(Y) = (M (X ²) – M ²(X)) + (M (Y ²) – M ²(Y)) = D (X) + D (Y).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.
4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X – Y) = D (X) + D (Y). (7.11)
Доказательство. D (X – Y) = D (X) + D (- Y) = D (X) + (-1)² D (Y) = D (X) + D (X).
Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Определение Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
. (7.12)
Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно
Тема 9. Определение числовых характеристик наиболее употребительных распределений непрерывных случайных величин.
Распространим определения числовых характеристик случайных величин на непре-рывные случайные величины, для которых плотность распределения служит в некото-ром роде аналогом понятия вероятности.
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется
(7.13)
Замечание 1. Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной (опр. 7.5), а формула для ее вычисления имеет вид:
(7.14)
Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле .
Замечание 2. Если все возможные значения непрерывной случайной величины не выходят за пределы интервала [ a, b ], то интегралы в формулах (7.13) и (7.14) вычисляются в этих пределах.
Пример.
Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид:
Найти М (ξ), D (ξ), σ.
Решение.