Поскольку импульсная характеристика и частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье, на основании формулы (23):
Kсогл(jω) = k∫sвх(t0-t)e- jωt dt. (28)
Введя новую переменную интегрирования τ = t0-t, получаем:
Kсогл(jω) = - k exp(-jωt0) ∫ sвх(τ) exp(jωτ) dτ = - k exp(- jωt0) ∫ sвх(τ) exp(jωτ) dτ =
= - k Sвх*(ω) exp(- jωt0). (29)
Таким образом, записывая обе части (21) в показательной (экспоненциальной) форме, получим: (30)
*Знак «минус» в аргументе спектральной плотности входного сигнала в (30) обусловлен ее комплексно-сопряженным значением.
Непосредственно из (30) можно получить соотношения, связывающие основные частотные характеристики – АЧХ и ФЧХ – для полезного входного сигнала и линейного частотного согласованного фильтра:
АЧХ (условие баланса амплитуд): ;
ФЧХ (условие баланса (компенсации) начальных фаз):
Коэффициент к при этом должен иметь размерность, обратную спектральной плотности входного сигнала, в тех случаях, когда частотный коэффициент передачи фильтра (его передаточная функция) является безразмерной величиной.
|
|
Итак, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала, для выражения которого этот фильтр предназначен. Множитель пропорциональности k в формуле (30) определяет уровень усиления, вносимого фильтром. Значение момента времени t0 входит лишь в выражение фазовой характеристики фильтра. При этом сомножитель exp(-јωt0) описывает смещение выходного отклика фильтра по оси времени на величину t0.