Примеры. 1.9. Вексель на 2,0 млн. рублей, выданный на 1 год со сроком погашения 16 мая, был предъявлен к учету 01 апреля

1.8. Выдана ссуда 120,0 млн. руб. из расчета 24% годовых на 4 месяца. Какова будет сумма погасительного платежа?

В соответствие с (1.1) и (1.7):

FV = PV(1+rT) = 120,0[1 + 0,24(4/12)] = 129,6 (млн.руб.)

1.9. Вексель на 2,0 млн. рублей, выданный на 1 год со сроком погашения 16 мая, был предъявлен к учету 01 апреля. Банк согласился учесть вексель со ставкой дисконта 24% годовых. Какую сумму получил держатель векселя?

Согласно (1.4) и (1.7):

PV = FV(1-dT) = 2,0[1 – 0,24(45/360)] = 1,94 (млн.руб.)

Приведение к базовому периоду по схеме сложных процентов используется при расчетах, охватывающих периоды времени более одного года. В частности, сумма, получаемая единовременно по истечении n полных лет при ставке процента r_i (будущая стоимость):

FV_n = PV (1+r₁)(1+r₂)…(1+r_n) (1.8)

По итогам каждого года капитал как бы изымается из оборота с начисленными простыми процентами и тут же вкладывается вновь (реинвестируется) по новой ставке процента.

В случае, если процентная ставка остается неизменной на протяжении n периодов, соотношение (1.8) несколько упрощается:

FV = PV (1+r) (1+r) …(1+r) = PV(1+r)ⁿ (1.9)

n

Приведенная (настоящая) стоимость суммы FV_n, предназначенной к получению через n периодов:

PV = FV_n / (1 + r)ⁿ

Выражение 1/(1 + r)ⁿ называют также дисконтирующим множителем,

а (1 + r)ⁿ – факторным множителем.

В случае, если рассматривается период, не кратный целому числу лет, то для части фактического периода, кратного целому числу лет, используется соотношение (1.8), а для остатка интервала, длительностью менее года - соотношение (1.2) с учетом (1.7).

Пример.

1.10. Вклад в размере 100,0 тыс. руб. размещен в коммерческом банке сроком на 2 года на условиях, согласно которым на него ежегодно будут начисляться проценты в размере 80% от ставки рефинансирования Банка России. В 2007 г. ставка рефинансирования составила 12,5%; в 2008 -–11% годовых. Какая сумма оказалась на счете 1 января 2009 г.?

Cогласно (1.8),

FV=PV(1+r₁)(1+r₂)=100,0(1+0,125*0,8)(1+0,11*0,8)= 100*1,1*1,088= 119,68 (тыс.руб.)

Сложные проценты могут начисляться и за период, не равный году – при т.н. внутригодовом начислении процентов. Схема наращения при внутригодовом начислении:

FV_m = PV [1+(r/m)]^mT (1.10)

где m – число начислений в году; T – относительное время.

Пример.

1.11. Выдан кредит 20,0 млн. рублей под 24% годовых сроком на 1,5 года с ежеквартальным начислением процентов. Какова будет сумма погасительного платежа?

Воспользуемся соотношением (1.10):

FV₆ = 20,0(1+0,24/4)^4х1,5 =20,0(1+0,06)⁶ = 28,370(млн.руб.)