Метод простых итераций

Метод простых итераций основан на пошаговом приближении к точному решению, при этом для нахождения решения с заданной точностью требуется несколько итераций.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций можно разбить на несколько шагов.

Исходную систему уравнений вида (1.1) привести к эквивалентной системе, пригодной для итераций, вида

. (1.5)

Здесь ,

Для приведенной матрицы проверить сходимость итерационного процесса с использованием условия . Если какая-либо норма этой матрицы меньше 1, то итерационный процесс будет сходиться.

Записать последовательность итераций:

. (1.6)

Выбрать начальное приближение. В качестве начального приближения могут выбираться произвольные значения, но при вычислениях обычно принимается .

Можно оценить число итераций, необходимых для достижения требуемой точности, по формуле , где – требуемая точность.

Проводить вычисления по формулам (1.6). Итерационный процесс можно реализовать с использованием операторов

do { последовательность действий } while ( условие ),

то есть проводить вычисления до тех пор, пока выполняется условие ().

Здесь – погрешность данной итерации, которая вычисляется по формуле .

Примечание: Необходимо использовать только один вид норм, как правило, это m-норма.