1 шаг. Интегрируем первое из уравнений (7.10) по переменной , считая постоянной
(7.11)
Здесь постоянная интегрирования, зависящая в данной ситуации от фиксированной .
2 шаг. Дифференцируя полученное выражение по , получим
(7.12)
3 шаг. Подставляя полученное равенство (7.12) во второе равенство (7.10) мы находим . Интегрируя затем по определяем и, следовательно искомую функцию . Используя
Формулу (7.7) записываем общее решение ОДУ в полных дифференциалах (7.8).
Пример 4. Найти общее решение ОДУ в полных дифференциалах .
Решение. Убедимся, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Для
этого проверим выполнение условия (7.10)
Условие (7.10) выполняется. Используем правило
1шаг. .
2 шаг. Дифференцируем полученное выражение по
3 шаг. . Интегрируя последнее равенство
определяем первообразную .
Отсюда определяем . Согласно формуле (7.7)
общий интеграл имеет вид