К каноническому виду

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

А х ²+2В ху +С у ²+2D х +2Е у +F=0, (1)

где коэффициенты А, В, С одновременно в ноль не обращаются.

С помощью преобразования системы координат уравнение (1) может быть приведено к простейшему (каноническому) виду.

Если в уравнение (1) коэффициент В=0, то оно имеет вид

А х ²+ С у ² +2D х +2Е у +F=0. (2)

К канонической форме уравнение (2) преобразуется с помощью параллельного переноса координатных осей по формулам

, (3)

где (х ₀; у ₀) – координаты нового начала О’ системы координат относительно старой системы. Новые оси О’Х’, О’Y’ параллельны старым осям.

После подстановки формул (3) в уравнение (2) выделяются полные квадраты по переменным х ’ и y ’.

Если в уравнение (1) В≠0, то путем поворота координатных осей на некоторый угол a, определяемый формулой

, (4)

можно исключить слагаемое, содержащее произведение текущих координат. Для этого необходимо подставить sina и cosa в формулы поворота координатных осей:

. (5)

Затем следует выражение (5) подставить в уравнение (1).

______________

3.3.1. Привести к каноническому виду уравнение 4 х ²+5 у ²+20 х -30 у +10=0. Построить кривую.

Ответ: .

3.3.2. Преобразовать уравнение 3 х ² - ху+у ²+6 х+ у -4=0 к каноническому виду. Построить кривую.

Ответ: .

________________

3.3.3. Привести к каноническому виду уравнение 5 х ²-4 у ²+16 у -36=0. Построить кривую.

Ответ: .

3.3.4. Привести к каноническому виду уравнение х ²+2 ху+у ²= . Построить кривую.

Ответ: у = - х ².

_______________