Пусть функция определена в окрестности точки .
Определение. Частной производной функции в точке по переменной называется предел отношения частного приращения в этой точке к вызвавшему его приращению переменной при .
Обозначения частной производной:
Итак, согласно определению,
.
Аналогично
.
Таким же образом определяются частные производные для функции большего числа переменных. Например, для функции :
.
При вычислении частной производной по переменной все остальные независимые переменные считают постоянными величинами (равными соответствующим координатам точки ), и применяют правила дифференцирования функции одной переменной [4].
Примеры. 1. .
(производная второго слагаемого равна нулю как производная константы);
.
2. .
.
3. . Частная производная по переменной является производной степенной функции с фиксированным показателем ; поэтому . Частная производная по переменной является производной показательной функции с фиксированным основанием ; поэтому .
|
|
4. . По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
5. .
.
6. .
.