Пусть в области задана функция двух переменных:
, (6)
у которой переменные и в свою очередь являются функциями переменных и :
, (7)
заданными в области .
Тогда является сложной функцией независимых переменных и с промежуточными переменными и :
. (8)
Рассмотрим задачу нахождения частных производных этой сложной функции без использования явной записи (8).
Пусть точка , и функции и , согласно уравнениям (7), переводят ее в точку :
.
Теорема. Пусть выполняются три условия:
1. В окрестности точки существуют частные производные , непрерывные в самой точке .
2. В точке существуют частные производные .
3. Функции непрерывны в точке .
Тогда в точке существуют частные производные сложной функции , и для них справедливы формулы:
(9)
,
или в другой записи:
.
Доказательство. Проведем его для частной производной . Придадим переменной в точке приращение ; оно вызовет частные приращения промежуточных переменных , которые в свою очередь вызовут частное приращение сложной функции . В силу непрерывности частных производных (условие 1) к приращению применима формула (4):
|
|
,
откуда, деля на , получаем:
. (10)
Здесь — постоянные величины для фиксированной точки . Далее, в силу непрерывности функций (условие 3):
, ,
а тогда и величины в представлении (10) также стремятся к нулю.
Переходя в равенстве (10) к пределу при , получаем на основании свойств предела и условия 2:
,
и далее,
.
Замечание. Аналогичные формулы имеют место для функций большего числа переменных. Например, в ситуации:
,
и
, , , ,
имеем:
Пример. Пусть
;
.
Тогда
;
далее,
Поэтому
;
.