Метод Ньютона применим к решению очень широкого класса нелинейных уравнений. Значение его в том, что он позволяет привести решение нелинейного уравнения к решению последовательности линейных уравнений.
Рассмотрим уравнение . Пусть - точное решение; - приближенное решение. Очевидно погрешность решения , и как правило это малая величина.
,
, разложим левую часть по степеням .
,
решая это уравнение относительно , найдем приближенное значение погрешности и сможем улучшить значение : , относительно которого можно ожидать, что оно будет ближе к , чем :
Аналогично можно улучшить и т.д.
[24]
Чтобы последовательные приближения сходились, необходимо чтобы .
Геометрический смысл правила [24] весьма прост. Построим график функции . Точное решение это абсцисса точки пересечения графика с осью ОТ. Рассмотрим на этом графике произвольную точку и проведем в ней касательную . Уравнение касательной есть
.
Касательная пересечет ось ОТ в точке (ti+1,0), или из уравнения касательной . Откуда найдем , что совпадает с [23]. Таким образом, правило Ньютона геометрически означает, что следующее приближение находится, если функцию заменить прямой , касающейся графика в точке .
|
|
Пример. Решить уравнение Кеплера методом Ньютона.
выберем t0=1.2, тогда
ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Функция имеет локальный минимум на множестве , если для всех значений верно .
Функция должна быть непрерывной или кусочно-непрерывной, иначе сложно построить метод поиска ее минимума. Если не является кусочно-непрерывной, то единственным способом решения задачи является перебор всех элементов , на которых задана функция. Вообще, чем более жестким требованиям удовлетворяет , тем легче строить хорошие численные алгоритмы.