Построим S2n = U1 - U2 + U3 - U4 +... + U2n-1 - U2n = (U1 - U2) +
+ (U3 - U4) +... + (U2n-1 - U2n).
Поскольку любая скобка в этой сумме больше нуля, то последовательность {S2n} возрастающая. Докажем, что она ограниченная. Для этого представим S2n следующим образом:
S2n = U1 - [(U2 - U3) + (U4 - U5) +... + (U2n-2 - U2n-1) + U2n] < U1
Итак, последовательность {S2n} монотонно возрастающая, ограниченная и, следовательно, сходящаяся. Пусть .
Чтобы доказать сходимость ряда, нужно доказать еще, что последовательность частичных сумм нечетного числа членов этого ряда также сходится и имеет предел, равный S.
Так как S2n+1 = S2n + U2n+1 и U2n+1 0 (по условию), то
Заметим, что для суммы S ряда (1) справедливо соотношение 0<S<U1. Действительно, частные суммы четных номеров S2n приближаются к сумме S, возрастая, следовательно, S>S2n при любом n. Кроме того, S2n>0 (n=1, 2,...), а значит и S>0. Частичные суммы нечетных номеров S2n+1 можно записать в виде:
S2n+1 = U1 - (U2 - U3) -... - (U2n - U2n+1).
Отсюда видно, что последовательность {S2n+1} монотонно убывающая и что S2n+1<U1 при любом n. Так как S<S2n+1 при любом n, то, следовательно, S<U1. Суммируя сказанное, получаем: 0<S<U1.
|
|
Рассмотрим теперь остаток ряда, умноженный на (-1)n
(-1)n r n= Un+1 - Un+2 +...
Это ряд. По доказанному ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена, то есть rn < Un+1.
Теорема доказана.