Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле
(1)
Случайная погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.
Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений: x 1, x 2,..., xn.
Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.
|
|
Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое
(2)
Здесь xi – результат i -го измерения, n – число измерений. В случае малого n правильная оценка погрешности основана на использовании распределения Стьюдента (t –распределения). Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной случайной абсолютной погрешности D x сл., которую вычисляют по формуле
(3)
где t (a, n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a. Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.
Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятных для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного – 0.
Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.
Из таблицы видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a. Практически выбирают a = 0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.
Таблица 1
Число | Доверительная вероятность a | |||
измерений n | 0,6 | 0,7 | 0,95 | 0,98 |
1,38 | 2,0 | 12,7 | 31,8 | |
1,06 | 1,3 | 4,3 | 7,0 | |
0,98 | 1,3 | 3,2 | 4,5 | |
0,94 | 1,2 | 2,8 | 3,7 | |
0,92 | 1,2 | 2,6 | 3,4 | |
0,90 | 1,1 | 2,4 | 3,1 | |
0,90 | 1,1 | 2,4 | 3,0 | |
0,90 | 1,1 | 2,3 | 2,9 | |
0,88 | 1,1 | 2,3 | 2,8 | |
0,84 | 1,0 | 2,0 | 2,3 |
Поясним смысл терминов абсолютная погрешность D x и доверительная вероятность a, используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины <x> (рис. 1), а вычисленная абсолютная погрешность D x. Отложим D x от <x> справа и слева. Полученный числовой интервал от (<x> − Δ x) до (<x> + D x) называется доверительным интервалом. Внутри этого доверительного интервала находится истинное значение измеряемой величины x.
|
|
|
Рис. 1
Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины x ист. попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a.
Вычислив величину абсолютной погрешности D x по формуле (1), истинное значение x измеряемой физической величины можно записать в виде x = <x> ± D x.
Величина абсолютной погрешности Δ x результата измерений еще не определяет точности измерений. Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность, которую обычно выражают в процентах:
ε (4)
За меру точности измерения принимают величину 1/ε. Следовательно, чем меньше относительная погрешность ε, тем выше точность измерений.
Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:
1. Провести измерения n раз (обычно 5).
2. Вычислить среднее арифметическое значение <x> по формуле (2).
3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a = 0,95).
4. По табл. 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.
5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (3) и сравнить ее с аппаратурной погрешностью. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше (см. пример на с. 11).
6. По формуле (4) вычислить относительную ошибку e.
7. Записать окончательный результат
x = <x> ± D x
с указанием относительной погрешности e и доверительной вероятности a.
Обычно кроме прямых измерений в лабораторной работе присутствуют косвенные измерения.