Жиілікті модульдеу 4 страница

Элемент. Элемент деп көбінесе жүйенің бөлінбейтін жәй бөлігін түсінеміз. Мұндай бөлік не деген сұрақ жауабына, бір мағналысыз және мақсатқа байланысты обьекті жүйе тәрізді қарастыру. Яғни, элемент – бұл алға қойған мақсат және нақты есепті шешу көз қарасынан қарағандағы жүйені бөлшектеудің шегі болып табылады. Жүйені элементтерге бөлшектеудің бірнеше тәсілдері қалыптастыру мақсаты және оның зерттеу барысына тәуелді.

Ішкі жүйе. Жүйе элементтерге бірден бөліне алмауы мүмкін, яғни бірінші элементтерге қарағанда әлдеқайда ірі, сонымен қатар тұтас жүйеге қарағанда толық әр түрлі ішкі жүйеге бөлінеді. Жүйені ішкі жүйелерге бөліну мүміндігі өзара байланысқан, тәуелсіз функцияларды орындауға мүмкіндігі бар элементтердің шешуіне байланысты.

Осымен ішкі жүйе ішкі мақсаты қисындастырымаған және тұтастық қасиеті орындалмайтын элементтердің қарапайым топтарынан айрықшаланады. (мұндай топ үшін «компоненттер» аты қолданылады). Мысалы, АЖБ-ның ішкі жүйесі, ірі қаланың жолаушылар көлігінің ішкі жүйесі.

Құрылым. Бұл мағына латынның structurе құру, орналастыру, ретке, келтіру сөзінен шыққан. Құрылым жүйе өзгеруінде аз өзгеретін және жүйенің өміріне жауапты элементтер мен оның топтары арасындағы байланыстарды қамтамасыз етеді

Құрылым – бұл элементтердің жиыны мен олардың арасындағы байланыс. Құрылым графикалық,, теоретикалық-жинақтылық сипаттама түрінде, матрица, графа және құрылымды модельдеу тілдерінде көрсетіледі. Құрылымды көбіне иерархия түрінде көрсетеді.

Иерархия – бұл компонентердің қажеттілік сатысы (көпсатылылық, қызметтік саты) бойынша реттеу. Иерархиялық құрылмның төменгі сатылы компоненттері мен жоғары сатыдағы компоненттері арасында қатаң бағыныштық болуы мүмкін, яғни ағаш тәріздес реті бойынша. Мұндай иерархины әлді немесе ағаш тәріздес иерархия деп атайды. Бұлар басқару жүйесі құралдарын ыңғайлы етіп жасап, ерекше қатарда иеленеді. Бірақ байланыс иерархияның бір сатысымен ғана шектеледі. Төменгі сатыдағы бір түйін бір уақытта жоғарғы сатыдағы бірнеше түйінге бағынышты болуы мүмкін. Мұндай құрылымдарды «әлсіз байланысы бар» иерархиялық құрылым деп атайды. Иерархиялық құрылымның сатылры арасында әлде қайда қиынырақ байланыс болуы мүмкін, мысалы, «страттар», «қабаттар», «эшелондар» деген сияқты. Иерархиялық құрылымдардың мысалдары: энергетикалық жүйелер, АЖБ, мемлекеттік аппарат.

Байланыс. «Байланыс» түсінігі «элемент» түсінігімен қатар жүйенің кез-келген анықтамасына ене алады және де құрылымның пайда болуы мен сақталуына және жүйенің қасиетінің тұтастығын қамтамасыз етеді. Бұл түсінік жүйенің құрылуын (статикасын), жұмыс жасауын бір уақытта сипаттайды. Байланыс бағытымен, күшімен, және сипатымен (немесе түрімен) сипатталады. Байланысты бірінші екі белгісімен бағытталған және бағытталмаған, әлді және әлсіз деп, ал мінезі бойынша – бағыну байланысы, генетикалық, тең құқылықты (немесе парықсыздар) басқару байланыстары болып бөлінеді.

Жүйеде басты рөлде «кері байланыс» түсінігі ойнайды. Бұл түсінік техникалық құрылғылар мысалдарынды оңай көрсетілген, ал ұйымдық жүйелерде әр қашан қолданылмайды. Кері байланыс жүйенің өзін басқару және даму негізі болып табылады, бұлардың бар болу шарттарының өзгеруіне үйренуі.

Күй-жағдай. «Жағдай» түсінігі деп әдетте шапшаң фотосуреті, жүйені «кесу», оның дамуын тоқтатуын сипаттайды. Оны кіріс әсерлері және шығатын сигналдар (шешімдер) немесе жүйенің макропараметрлері, макроқұрамы арқылы анықтайды (мысалы, қысым, жылдамдық, физикалық жүйе үшін – жылдамдату; өнімділік, өнімнің өзіндік құны, экономиаклық жүйе үшін – пайда).

Егер жағдайды анықтайтын ε элементтерін (немесе компонентерін, функционалды блктарды) қарастырса, «кірістерді» u басқарулары мен х қарсы болушыларға (басқарылматындар) бөліп тастауға мүмкіндік бар болуын және «шығыстар» (шығыс қорытндылары, сигналдар) ε, u және х,яғни z_t=f(ε_t, u_t, x_t)-ға тәуелді екенін ескерсе. Онда есептің берілгеніне байланысты жағдай былайанықтауы мүмкін, {е, u}, {ε, u, z} немесе {ε, х, u, z}.

Сайып келгенде, жағдай – бұл жүйенің қазіргі таңдағы иелік ететін бар қасиеттердің жиыны.

Мінез-құлық. Егер жүйе бір күйден екінші күйге ауыса алса, (мысалы, z₁®z₂®z₃), онда оны мінез-құлықпен иелік етеді деп айтады. Бұл түсінікпен бір күйден екінші күйге өт заңы белгісіз болған уақытта қолданады. Онда жүйе бір мінез-құлықпен иелік етеді және оның заңдарын анықтайды дейді. Жоғарыдағы көрсетілген анықтамларды ескерсе мінез-құлықты мына функциямен z_t=f(z_t-1, x_t, u_t) көрсетуге болады.

Сыртқы орта. Сыртқы орта деп жүйге кірмейтін, бірақ олардың жағдайларының өзгеруі жүйенің өзгеруіне әсер ететін түсінікті білеміз.

Модель. Жүйенің моделі деп оның құрамының анықталған тобын көрсететін жүйені сипаттау түсінігін айтады. Тереңдеп сипаттау – модельді нақтылау. Жүйенің моделін құру шарттың белгілі бір диапазонындағы мінез-құлығын анықтауға мүмкіндік береді. Жүйенің мінез-құлық модель – бұл жүйенің күйінің өзгеру уақытындағы алдын-ала болжайтын модель, мысалы: табиғилар (аналогтық), электрлік, ЭЕМ-дегі машиналық және т.б.

Тепе-теңдік – бұл жүйенің сыртқы қарсы болушылардың әрекеттерінің жоқ боуынан (немесе тұрақты әрекеттердің) өзінің күйін қалауынша сақтап қалуын айтады.

Тұрақтылық. Тұрақтылық деп жүйенің тепе-теңдік күйінен сыртқы қарсыланышылардың әсерінен өзгеріп, қайта орнына келуін айтады

Мұндай үйреншіктік әдетте жүйелерге ылғи қарсыланушылардың әсерінен болады, бірақ егер кейінге қалдру шектен шығып кетпесе.

Жүйенің тепе-теңдік күйіне қайта оралуын,анлогиялық- техниалық тұрғыдағыжағдайды тұрақты тепе-теңдік деп атайды. Экономикалық және ұйымдық жүйелерде тепе-теңдік және тұрақтылық түсінігі – техникадағыға қарағанда әлде қайда қиынырақ, және де жүйе туралы сипаттама беру үшін бұларды осы уақытқа дейін пайдаланып келді. Кейінгі уақытта параметрлерін көрсету үшін көмектесетін күрделі ұйымдық жүйелерде осы процестердің формалдық елестету әректтері пайда болды.

Даму. Даму прцесін зерттеуде, даму процесі жәнетұрақтылықтың арақатынасында, негізінде жатқан механизмдерді зерттегенде, кибернетикаға және жүйе теориясына көп көңіл бөледі. Даму түсінігі күрделі термодинамикалық және табиғаттағы, қоғамдағы ақпараттық процестерді түсіндіруге көмектеседі.

Мақсат. «Мақсат» түснігін қолдану және онымен байланысқан мақсатқа бағытталған, мақсатқа ұмтылушылық, мақсатқа лайықтылық нақты шарттардағы түсіндірулерде қиын ұсталады. Бұлай болудың себебі ұйымдық жүйелерде мақсатқа лайықтылық процесі және өзіне лайықты мақсатты негіздеу процесі өте күрделі және аяғына дейін зерттелмеген. Оның зерттеуіне психологияда, философияда, кибернетикада көп көңіл бөлінеді. Үлкен Совет Энциклопедиясында мақсат былай анықталған: «адамның саналы қызметіндегі қорытынды алдын-ала ойластырылған». Мақсатты практикеада қолдану – бұл нағыз ұмтылыс жолындағы этаптарджы өз уақытында орындалуын қамтамасыз ететін, коллективке болашақты немесе нақты мүмкіндікті көрсетуге мү.мкндік беретін сай (идеальное) ұмтылыс.

Тақырып 4. Ақпараттық жүйе әдістерін сипаттау

Мақсаты: есептің жалпы формулировкасын, оптимизациялық сызықтық моделдің каноникалық формасын, геометриялық интрепретацияны үйрену.

Жоспар (1 сағат)

1. АЖ сандық және сапалық сипаттау әдісі.

2. АЖ динамикалық сипаттау.

3. АЖ каноникалық ұсыну.

Кілттік сөз: ақпараттық жүйе, оптимизация, әдістері, ерекшелік, форма.

Математикалық көрсеткіш, қорларды тарату есебімен қалыптасады. Оны келесі түрде көрсетуге болады:

П x_j - j-мыздағы өзгерісті басқару (j=1, n) болсын. Мынандай мағыналарды анықтау керек x_j, ондағы

p₁x₁+p₂x₂+...+p_nx_n= max (или min)

әрбір x_j келесі типтің біреуі қысқартылып берілген.

a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx_n a

b₁x₁+b₂x₂+...+b_nx_n = b

c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n c

Қысқартылымның орнына x_j >=0 болуы мүмкін. Мұндай түрді қысқартудағы оптимизациялаудың есебі:

1. Дұрыс шешімнің біреуіне де иемдене алмайды, яғни барлық қысқартуларды қанағаттандыратын x_j болмайды.

2. Тек қана оңтайлы шешімді қабылдау мүмкіндігі болуы мүмкін.

3. Ұрықсатты шешім болуы мүмкін егер, толық функцияның мағынасы қысқартылмаған болса.

Кез келген шешімді максималдау, эквивалентті есепті минималдаумен ауыстырылыу мүмкін, егер белгіні оптимизациялауды өзгертсек, және толық функциияның коэффициенттерінің алдындағы белгіні өзгерсек.

Максималдау  c_jx_j эквивалентті минималдау  (-c_j )x_j (j=1,n)

Толық функцияның оңтайлы шешімі бірінші және екінші жағдайда тең болады.

Берілгендер қысқартулар бойынша таратылады, және жүйелік теңсіздікті көрсетеді.Жалпы түрде.

 a_jx_j b эквивалентті  (-a_j )x_j -b (1) (j=1,n)

Мысал:

x₁+x₂+x₃+x₄ 15 эквивалентті -x₁-x₂-x₃-x₄ -15

Кез келген теңсіздікті теңдікте көрсетуге болады, егер, теріс емес өзгерісті еңгізсек:

 a_jx_j b  a_j x_j=b (j=1,n), где s 0 (2)

 ajxj b a_j x_j-1t=b (j=1,n), где t 0 (3)

s - өзгеріс қалдығы

t – Азайған өзгеріс.

Y матрицасын қысқарту үшін есепте таратылған қорлардың теңсіздігі берілген

7x₁+5x₂+3x₃+2x₄ 120

Берілген қысқартулардың эквивалентті формулалары

7x₁+5x₂+3x₃+2x₄+1y=120, где y 0

Қайта түрлендірулер болуы мүмкін. (теңдіктен теңсіздікке)

Жүйе теңдеуін мына түрде көрсетуге болады.

_n

 a_ij x_j =<b_i (i=1, m),   _j x_j =<(j=1,n) (5), где

j=1

 _j= -  a_ij ;  = - b_i (i=1,m) (6)

При m=1 байланысында (5) мына түр болады:

 a_1j x_j =<b₁; -  a_1j x_j=<b₁ (j=1,n) (7)

Мысалы:

x₁+x₂=1

2x₁-4x₃=-5

c(5) и (6) формуланың көмегімен эквивалентті теңсіздіктің қайта түрлену жүйесін алуға болады.

1x₁+1x₂ =<1

2x₁-4x₃=<-5

-3x₁-1x₂+4x₃ =<4

Есептеу білімін табудағы өзгерісті басқару үрдісі, белгіде қысқартылмаған, немесе өзгерісті жасырмай өзгеруі де мүмкін. Түрлендірудің қорытындысы мынада: бірінші қысқартудың біреуі таңдалады, яғни ол теңдеу түрінде болуы қажет.

Мысалы: в (1) x₁ белгіде қымқартылмаған.

x₁=1/a₁(b₁- a_ijx_j) (j=2,n) (8)

Әрі қарай x₁ моделдің барлыө жазбаларындағы сипаттамаларында өзгертіледі. Шешу үрдісі x₁ функционалданбайды. Оның мәні қорытынды шешім бойынша келесі формулада есептеледі (8) (қайта түрлену).

Екінші типтегі қайта түрлену мынадан тұрады x_j әр түрлі өзгерістерде бірдей болып саналады, және ол орнына x_j қойылады. x_j x_j'- x_j'' x_j'>=0, x_j''>=0 (9)

Егер бірінші жағдайда өзгертулер қысқартылса, екінші жағдайда олар көбейтіледі.

Үшінші типтегі қайта түрлену мынадан тұрады яғни, x_j' қосылып жағымды өзгертулер z келесі байланыстарда болады..

x_j x_j' - z, где x_j'>=0, z 0

Мысалы: x_j для j=1,k n белгеде қысқартылмаған. Мында қысқарылған.

_n

 a_ijx_j=b_i (i=1, m)

^j=1

келесі түрде қайта түрленеді.

_{k n}

 a_ijx_j'+ a_ijx_j- _iz=b_i (i=1, m)

^{j=1 j=k+1}

_k

 _i= a_ij (i=1, m)

^j=1

Өзгеріс үшін x_j кейбір константаларды b_j төменде қысартқан, о тең емес жағымсыз x_j'с өзгерістерге әкелуі мүмкін. Келесі қайта түрлендірудің көмегімен.

x_j b_j+x_j' где x_j'0 с келесі қойылымның орнына x_j.

Модельді сызықтық автоматизациялау жазбасындағы канондық түрі.

Кез келген сызықтық автоматизацияланған модельді келесі жазба түрінде көрсетілуі мүмкін.

Максималдау  c_jx_j (j=1,n) (1)

Нақты қысқартулар болғанда.

 a_ijx_j=<b_i (i=1, m) (2)

x_j>=0 (j=1, n) (3)

немес минималдау.  с_jx_j (j=1,n) (4)

келесі шартпен

 a_ijx_j=b_i (j=1,n) (i=1, m) b_i>=0 (5)

x_j>=0 (j=1, n) (6)

жиі теңсіздік түрінде болады n>m

Геометриялық интерпретация

Алгебра қасиеттерін сызықтық оптимизациялау моделін геометриялық интерпритация көмегімен дұрыс түсінуге болады. (бірақ та сандық шешімдер үшін емес)

Сондай көрсеткіштердің бірі кеңістікте есеп шығару болып табылады.

Есепті қарастырайық:

максималдау 12x₁+15x₂ (1) нақты қысқартулар кезінде

4x₁+3x₂=<12 (2)

2x₁+5x₂=<10 (3)

x₁>=0, x₂>=0 (4)

Егер (2) мен (3) теңдікте өзгертсек, онда кеңістікте шешуді келесі түрде көрсетуге болады:

сурет.8.1

oabc – мәндерді еңгізу аймағы x₁ и x₂.

Бұл аймақтың көпмүше нүктелерін, көпмүшені шешу деп атайды.

Биіктігі o, a, b, c – экстремалды нүктелер.

Графикалық көрсетілімнің толық функциясы - тік параель топ. Бағыт – толық функцияның мәніне өсу бағдары. Оңтайлы шешім экстремалдық b нүктені көрсетеді, ол:

x₁=15/7; x₂=8/7; ц.ф.=12*15/7+15*8/7=300/7

Мысалды графикалық инерпритацияны шешуге болады.

· Нақты оңтайлы шешім үшін; (сурет1)

· Нақты қысқартылмаған оңтайлы шешім; (сурет. 8.2)

· Оңтайлы шешім болмаған жағдайда; (сурет.8.3)

Қысқартылмаған оңтайлы шешім үшін есепке мысал:

максималдау -2x₁+6x₂ (5)

қысқартулар нақты болғанда

-x₁-x₂ <=-2 (6)

-x₁+x₂  1 (7)

x₁>=0, x₂>=0 (8)

Графикалық интарпритациядан көретініміз, жүйеде қысқартылар жоқ, қысқартулар жоғарыдан, яғни әрқашанда бірнеше Х1 және Х2 түктелер табылады. Онда толық функцияның мәні алдыңғыға қарағанда үлкен болады.

сурет.8.4

Шешімді қажет етпейтін есепке мысал:

Максималдау x₁+x₂ (9)

Нақты қысқартулар болғанда.

-x₁+x₂=<-1 (10)

x₁-x₂=<-1 (11)

x₁>=0; x₂>=0 (12)

Мысалда көрсетілген есептерден мына қорытындығы келуге болады:

Егер көптеген шешімдер бос болмаса, онда ол қысқартылған және қысқартылмаған болады.

1. Егер көптеген шешімдер бос болмаса, онда мақсаттық функцияның оңтайлы шешімі соңы болады, немесе үлкен көлемде қысқартылмаған. Әрине, мақсаттық функцияның мәні ереже бойынша экстремалды нүктелерде жатады.

сурет.8.5

Үлкен сандық шешімдерді кеңістікте шешу.Есепті шешу үшін, n>2

өзгерісті басқаратын сандар үшін, графикалық интерпретацияны қарастырайық.

Мысалы:

максималдау  c_jx_j (j=1,n) (1)

нақты қықартулар кезінде

 a_ijx_j=<b_i (i=1, m) (2)

x_j>=0 (j=1, n) (3)

Есепті шешу үшін, n тәсілді эклидті кеңістікте көрсетілімді инерпретациялау арқылы, әрбір нүктені n көмегімен, координатасы (x₁, x₂,..., x_n).

(3) қысқартулар негізінде, сәйкес аймақты n тәсілді эклидті кеңістікте қарастырамыз.

Әр бір теңдікке

 a_ijx_j=b_i (i=1, m) (j=1,n) (4)

сәйкес жазықтыққа келеді, ол кеңістікті екі жазықтыққа бөледі. (4) тен (2) өзгеріс кезінде бағыттың өзгеруіне назар аудару керек, ол шартты қанағаттандыратын нүктені (2) жарты кеңістікте көрсетеді.

Жоғары бөлігінің қиылысу m, теңдікке (4) сәйкес келетін көпмүше шешімдерін анықтауға мүмкіндік береді.

Егер, көпмүше бос боласа, онда ол дөңес немесе полиэдральный болып табылады. Полиэдра (4) жүйе жазықтығынжа жатады. Берілген көпмүше дөңес полиэдралы n ретті көпмүше деп аталады.

Толық функция сонымен қатар, үлкен жазықтықта көрсетіліп, кеңістікте шешіледі. Үлкен жазықтық, әр түрлі толық функцияның мәніне параллель болып келеді.Егер мақсаттық функцияның мәні оңталы шешім үшін соңы болса, онда оңтайлы шешім полиэдраның экстремалды нүктесінде берілуі керек. Себебі ол мүмкін болатын аймақты көрсетеді.

Егер, n (n>=2) экстремалды нүктесі оңтайлы болып табылса, онда қабырғадағы барлық экстремал нүктелерді қосатын нүктелер оңтайлы болып табылады.

Кеңістікте шарттың көрсетілуі.

Барлық сызықтық модель графикалық кеңістік шартының m тәсілінде көрсетілуі мүмкін, мұнадғы m қысқартылым сандары. Қысқартулар векторлық теңсіздік түрінде көрсетілуі мүмкін.

 a_ijx_j=<b_i (i=1, m) (j=1,n)

Коэффициенттердің тобы кез келген x_j басқаруда векторды m тәсілді кеңістікте анықтайды.

Көпмүшенің нүктелері, вектордың мүмкін болатын сомаларын қайта жинау, сонымен қатар еркін санның туындысы, дөңес полиэдралы конусты кеңістік шартында жасайды.

Сонымен есепті оптимизациялау былай қалыптасады:

Векторды табу керек, олар:

· дөңес полиэдралы конустың ішінде жатады.

· Қысқартулардың дұрыс бөлігін анықтайтвн, векторға сома береді;

· Толық функцияның мәнін максималдайды.

· Қысқартуды оптималды шешу мысалы: Модель үшін максималдау керек. 12х₁+15х₂ (1)

Қысқартулар кезінде

4х₁+3х₂=<12 (2)

2х₁+5х₂=<10 (3)

х₁>=0, х₂ >=0 (4)

Өзгерісті басқару мақсаттық болу үшін, қалған өзгерістерді еңгіземіз: х₃ және х₄. Сонда (2), (3), (4) орнына, болады:

4х₁+3х₂+х₃=12

2х₁+5х₂+х₄=10 (5)

х_j>=0 (j=1, 4)

Кеңістікте қалған өзгерісті еңгізгеннен кейің, кеңістік өлшемі шарт бойынша мақсаттық теңбе тең болады.

Біз анықтағандай шешім болады: х₁=15/7; х₂=8/7.

рис.8.6

Егер векторды х₁ (4,2) көбейтсек х₁=15/7 және векторына қоссақ х₁ (3, 5), көбейтілген х₂, онада оң бөлігі қысқартылған ветор алынады (12, 10).

_{15/7*[4 2]+8/7*[3 5] = [12 10] (6)}

Қысқартылмаған оңтайлы шешіш үшін мысал.

Максималдаймыз 6-2х₁+6х₂ (7)

Қысқарту кезінде х -х₁-х₂=<-2 (8)

-х₁+х₂=<1 (9)

х₁>=0, х₂>=0 (10)

Қалған өзгерістерді қосу арқылы (8) жіне (9) қайта түрлендіреміз. Одан аламыз

-х₁-х₂+х₃=12

-х₁+х₂+х₄=1

Коэффициент векторы х₁ (-1, -1); х₂ (-1, 1); х₃ (1, 0); х₄ (0, 1)

Егер

^{ (11)}