Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы , параболы второй степени и др.
Различают два класса нелинейных регрессий:
• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:
• полиномы разных степеней , ;
• равносторонняя гипербола .
К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:
• степенная ;
• показательная ;
• экспоненциальная .
Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так. в параболе второй степени
.
заменяя переменные , ,получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:
.
для оценки параметров которого, как будет показано в гл. 3, используется МНК.
Соответственно для полинома третьего порядка
,
при замене , получим трехфакторную модель линейной регрессии:
,
а для полинома го порядка
,
получим линейную модель множественной регрессии с k объясняющими переменными:
.
Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна совокупность по результативному признаку.
Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:
, т. е. и
Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.
Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:
Решение ее возможно методом определителей:
где определитель системы;
частные определители для каждого из параметров.
При и кривая симметрична относительно высшей точки т. е. точки перелома кривой, изменяющей направление а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста — с увеличением возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение возраста может приводить к снижению заработной платы работника. Еслипараболическая форма связи демонстрирует сначала рост, а затем снижение уровня значений результативного признака, то определяется значение фактора, при котором достигается максимум. Так, предполагая, что потребление товара А (единиц) в зависимости от уровня дохода семьи (тыс. руб.) характеризуется уравнением вида . Приравнивая к нулю первую производную
, найдем величину дохода, при которой потребление максимально, т. е. при тыс. руб.
При и парабола второго порядка симметрична относительно своей низшей точки, что позволяет определять минимум функции в точке, меняющей направление связи, т. е. снижение на рост. Так, если в зависимости от объема выпуска продукции затраты на производство характеризуются уравнением ,то наименьшие затраты достигаются при выпуске продукции ед., т. е. .
В этом можно убедиться, подставляя в уравнение значения х.
Ввиду симметричности кривой парабола второй степени далеко не всегда пригодна в конкретных исследованиях. Чаще исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы, а не с полной параболической формой. Кроме того, параметры параболической связи не всегда могут быть логически истолкованы. Поэтому если график зависимости не демонстрирует четко выраженной параболы второго порядка (нет смены направленности связи признаков), то она может быть заменена другой нелинейной функцией, например степенной. В частности, в литературе часто рассматривается парабола второй степени для характеристики зависимости урожайности от количества внесенных удобрений. Данная форма связи мотивируется тем, что с увеличением количества внесенных удобрений урожайность растет лишь до достижения оптимальной дозы вносимых удобрений. Дальнейший же рост их дозы оказывается вредным для растения, и урожайность снижается. Несмотря на несомненную справедливость данного утверждения, следует отметить, что внесение в почву минеральных удобрений производится на основе учета достижений агробиологической науки. Поэтому на практике часто данная зависимость представлена лишь сегментом параболы, что и позволяет использовать другие нелинейные функции. В качестве примера рассмотрим табл. 4.3.
Таблица 4.3