Скалярное произведение двух функций f(x) и g(x) в интервале определяется как
Скалярное произведение функции f(x) на себя, называемое нормой функции f(x), вводится как
(2.7.2)
Функция, норма которой равна единице, называется нормированной. Нормировка легко достигается делением функции на квадратный корень ее нормы.
Две функции f(x) и g(x) ортогональны относительно весовой функции и(х) в интервале [а, b], если
(2.7.3)
Система функций каждая пара которых
ортогональна в интервале [а,b], называется ортогональной системой. Для этой системы функций имеют место обычные уcловия ортогональности:
(2.7.4)
где
(2.7.5)
коэффициент, зависящий от параметров i и j. Поскольку правая часть уравнения (2.7.4) всегда равна нулю, за исключением случая коэффициент записывают просто в виде При для всех значений система функций называется ортонормированной системой, а соответствующие условия ортонормированности задаются следующим образом:
(2.7.6а)
Множество функций называется ли-
нейно независимым, если не существует коэффициентов не всех равных нулю и таких, что уравнение
(2.7.9)
справедливо для всех х. Все функции, образующие ортогональную систему, линейно независимы.
И наконец, система функций называется полной, если любую кусочно-непрерывную функцию можно в среднем сколь угодно точно аппроксимировать с помощью линейной комбинации функций, входящих в данную систему.