Метод Койка обычно применяют, если в моделях с распределенным лагом величина максимального лага L бесконечна. При этом используют допущение о геометрической структуре лага, т.е. воздействие лаговых значений фактора на результат уменьшается с увеличением величины лага в геометрической прогрессии. Если имеется одна объясняющая переменная, то модель имеет вид:
(3.3)
где
В данной зависимости всего три параметра: а, b0 и l. Для их оценивания нельзя применять обычный МНК, так как:
1) возникает проблема мультиколлинеарности;
2) из полученных МНК-оценок не удалось бы вывести значения b0 и l. Здесь можно получить одно значение оценки b0 с помощью коэффициента при xt, и совершенно другое, возведя в квадрат коэффициент при xt-1 и разделив его на коэффициент при xt-2.
Для оценки параметров а, b0 и l можно использовать два метода: нелинейный МНК либо преобразование Койка.
Суть нелинейного МНК. Задаем для lзначения в пределах от 0 до 1 с шагом, например, 0,01 (чем меньше шаг, тем более точным будет результат).
|
|
Для каждого значения lрассчитывается переменная:
с таким значением L, при котором дальнейшие лаговые значения х не оказывают существенного воздействия на z.
С помощью обычного МНК оценивается уравнение регрессии:
(3.4)
и определяется теоретический коэффициент детерминации R 2.
Такие расчеты проделывают для всех .
В качестве окончательных оценок а, b0 и l выбирают те, которые обеспечивают наибольшее значение R 2для уравнения (3.4).
Суть метода Койка (преобразование Койка). Если выражение (3.3) выполняется для периода t, то оно должно выполняться и для периода (t – 1):
Умножив обе части этого уравнения на lи вычтя их из уравнения (3.3), получим:
или
.
Полученная модель относится к моделям авторегрессии.
Эта форма позволяет анализировать краткосрочные и долгосрочные динамические свойства модели.
В краткосрочном аспекте (в текущем периоде) значение уt-1 нужно рассматривать как фиксированное. Воздействие х на у характеризует коэффициент b0.
В долгосрочном периоде (без учета случайной составляющей) если хt стремится к некоторому равновесному значению , то уt и уt-1, будут также стремиться к равновесному уровню , определяемому как:
,
из которого следует: .
Таким образом, долгосрочное воздействие х на у отражается коэффициентом . Если , то этот коэффициент превысит b0, т.е. долгосрочное воздействие оказывается сильнее краткосрочного.
Модель преобразования Койка привлекательна с практической точки зрения, т.к. оценивание парной регрессии с помощью МНК позволяет получить оценки а, b0 и l. Метод Койка требует гораздо меньших усилий при оценивании параметров, чем нелинейный МНК. Однако применение данного метода сопряжено с серьезной эконометрической проблемой – нарушением 1-го условия нормальной линей ной модели регрессии: объясняющая переменная уt-1 частично зависит от ut-1 и поэтому коррелирует с одной из случайных составляющих . В итоге оценки, полученные с помощью МНК, оказываются смещенными и несостоятельными.
|
|
3.7. Оценивание параметров моделей авторегрессии.
Метод инструментальных переменных
При построении моделей авторегрессии:
(3.5)
возникает проблема: нарушается 1-я предпосылка нормальной линейной модели регрессии об отсутствии связи между факторным признаком и случайной составляющей. В модели авторегрессии факторный признак уt-1 связан со случайной составляющей ut-1. Поэтому применение обычного МНК для оценки параметров уравнения регрессии приводит к получению смещенной оценки параметра при переменной уt-1.
Для оценивания параметров уравнения регрессии может быть использован метод инструментальных переменных.
Суть метода инструментальных переменных состоит в следующем.
Переменную уt-1 из правой части уравнения, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяют на новую переменную, удовлетворяющую следующим требованиям:
1) она должна тесно коррелировать с уt-1;
2) она не должна коррелировать со случайной составляющей иt.
Затем оценивают регрессию с новой инструментальной переменной с помощью обычного МНК.
Рассмотрим один из методов получения инструментальной переменной.
Так как уt зависит от хt, предположим, что имеет место зависимость уt-1 от xt-1, т. е. .
Оценка может быть найдена с помощью обычного МНК.
Новая переменная тесно коррелирует с уt-1 и не коррелирует со случайной составляющей иt, т. е. может служить инструментальной переменной для фактора уt-1.
В результате модель авторегрессии примет вид:
(3.6)
.
Оценки параметров данной модели находят обычным МНК. Полученные оценки являются искомыми оценками модели авторегрёссии (3.5).
Отметим, что практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется появлением проблемы мультиколлинеарности факторов в модели: функциональная связь между и xt-1 () приводит к появлению высокой корреляционной связи между и хt В некоторых случаях эту проблему можно решить включением в модель (3.6) фактора времени t.