Введение. Математический формализм

Оглавление.

Введение......................................................................................................... 5

ГЛАВА I

Математический формализм............................................................................ 10

§1 О понятии действительных чисел....................................................... 10

1.1 Формализм натуральных чисел....................................................... 10

1.2 Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел. 12

1.3 Аксиоматика рациональных чисел.................................................. 15

1.4 Задачи, приводящие к расширению множества рациональных чисел. 16

1.5 Аксиоматизация множества действительных чисел........................ 17

1.6 О представлении действительных чисел.......................................... 18

§2 Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии...................... 19

2.1 О “Началах” Евклида....................................................................... 19

2.2 Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)........................................... 20

2.3 Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта...................................... 26

§3 Структура векторного пространства................................................. 27

3.1 Модель направленных отрезков...................................................... 27

3.2 Арифметическая модель векторного пространства........................ 29

3.3 Абстрактное векторное пространство............................................. 31

3.4 Аксиомы скалярного произведения векторов................................. 32

§4 Модель Вейля евклидовой геометрии................................................ 35

4.1 Арифметизация трехмерного евклидова пространства.................. 35

4.2 Многомерное арифметическое евклидово пространство................ 37

§5 Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.................................. 39

5.1 Основные понятие модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского. 39

5.2 Основные факты в планиметрии Лобачевского............................... 42

5.3 О роли открытия неевклидовой геометрии..................................... 44

ГЛАВА II

Свойства аксиоматических систем................................................................... 45

§6 Математические структуры и аксиоматические теории..................... 45

6.1 Понятие отношений между объектами............................................. 45

6.2 Понятие математической структуры................................................ 46

6.3 Модель или реализация системы аксиом........................................ 48

6.4 Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры. 48

6.5 Изоморфизм...................................................................................... 49

§7 Требования, предъявляемые к системам аксиом............................... 52

7.1 Непротиворечивость системы аксиом.............................................. 52

7.2 Независимость аксиоматической системы....................................... 53

7.3 Независимость аксиомы параллельности........................................ 54

7.4 Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом............... 54

7.5 Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики. 55

§8 Анализ текстовых парадоксов............................................................ 57

8.1 Языковые свойства имен объектов................................................... 57

8.2 Проблема выразимости.................................................................... 57

8.3 Понятие искусственного языка....................................................... 58

8.4 Понятие парадокса............................................................................ 59

8.5 “Ахиллес и черепаха”....................................................................... 59

8.6 Парадокс пустого множества........................................................... 60

8.7 Парадокс достижимости в натуральном ряде................................. 60

8.8 “Одно и то же, но по-разному”........................................................ 61

Заключение.......................................................................................... 63

Обозначения........................................................................................ 65

Литература........................................................................................... 66

Введение.

Развитие информационных систем и компьютерных технологий открыли новые возможности в исследовании человеческого интеллекта. Цель такого исследования состоит в моделировании интеллекта и, в конечном счёте, автоматизации ряда процессов интеллектуальной деятельности.

Интеллект является процессом и продуктом мышления и отражает отношения объектов различной природы в виде мыслительных образов. Эти образы составляют субъективный информационный мир личности, а обмен информацией между людьми осуществляется посредством различных языковых систем. Знаковые или символьные языковые системы позволяют каждому индивидууму реализовать мысленную систему образов в виде языковых единиц – слов и их структурных образований – текстов.

Различаются три основные функции языка, это:

· отслеживание мысли (опорная функция);

· формирование умозаключений (логическая функция);

· средство общения (коммуникационная функция).

Такую роль языку отводил великий математик Леонард Эйлер (1707 – 1763). Он писал: “Язык нужен людям, чтобы они могли следить за своими мыслями и развивать их, а также общаться друг с другом”, [1, с.282].

Опорную функцию языка впервые систематически исследовал известный логик конца XIX века Готлоб Фреге (1848 – 1925). Вот его слова: “Нам удаётся управлять нашим вниманием и направлять мысль в желательное для нас русло благодаря знакам. Когда мы воспроизводим знак, то мы тем самым создаём определённую опору нашей мысли, – определённый центр, вокруг которого возникают различные представления. Из этих представлений мы выбираем одно и опять фиксируем его с помощью знака. Так удаётся шаг за шагом проникнуть во внутренний мир наших представлений и двигаться в этом мире в нужном направлении. Чувственно-наглядное (в форме знаков) позволяет нам не потонуть в потоке восприятий и представлений, непрерывно захлёстывающих наше внимание”.

Можно считать, что Фреге открыл акт и цикл процесса организации мыслительных образов в слова и тексты. Представим этот акт в виде диаграммы:

Тогда текст является итерацией, т.е. последовательной композицией, таких актов.

Прежде, чем сформулировать цели и задачи нашего пособия, приведём языковые понятия, при помощи которых формируется понятие текста.

Ф.1	Определение символьного или знакового языка
Знаковая или символьная система, используемая для такой организации структуры мыслительных образов, которая представляет информацию, называется символьным или знаковым языком.