Рассмотрим еще один класс уравнений, которые путем подстановки сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Определение. Функция называется однородной функцией нулевой степени, если для любого выполняется равенство
. (15)
Иными словами, однородная функция нулевой степени не изменяется при умножении и на одно и то же число.
Определение. Дифференциальные уравнения , правая часть которых является однородной функцией нулевой степени называются однородными уравнениями.
Однородные уравнения решаются с помощью замены . Эта замена приводит однородные уравнения к уравнениям с разделяющимися переменными.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Разрешим данное уравнение относительно :
.
Это уравнение однородно, т.к. его правая часть – однородная функция нулевой степени.
Сделаем подстановку
,
тогда
,
,
,
,
,
,
.
Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения:
,
.
Сделаем обратную замену .
,
,
,
- общий интеграл.
|
|
Ответ: .
.