Задание 9. Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х

Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений). Постройте многоугольник распределения и найдите:

а) математическое ожидание М(Х);

б) дисперсию D(Х);

в) среднее квадратическое отклонение σ;

г) функцию распределения F(х) и постройте ее график.

Х
р	0,3	0,2	0,1	0,4

Решение:

Построим многоугольник распределения.

Строим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения х_i, а по оси ординат – соответствующие вероятности р_i. Построим точки М₁ (23;0,3), М₂ (5;0,2), М₃ (28;0,1) и М₄ (29;0,4). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый прямоугольник распределения.

а) Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности, т.е.

.

Подставляя числовые значения, получим:

.

б) Вычислим дисперсию по формуле . Для этого нужно найти . Запишем закон распределения Х²:

X 2
р	0,3	0,2	0,1	0,4

Найдем математическое ожидание :

.

Найдем искомую дисперсию:

.

в) Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

.

г) Если , то F(х) = 0. Действительно, значений, меньших числа 23, величина Х не принимает.

Следовательно, при функция F(х) = Р(Х<х) = 0.

Если 23< , то F(х) = 0,3. Действительно, Х может принять значение 23 с вероятностью 0,3.

Если 25< , то F(х) = 0,5. Действительно, Х может принять значение 23 с вероятностью 0,3 и значение 25 с вероятностью 0,2; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,3 + 0,2 = 0,5.

Если 28< , то F(х) = 0,6. Действительно, Х может принять значение 23 с вероятностью 0,3 и значение 25 с вероятностью 0,2 и значение 28 с вероятностью 0,1; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6.

Если х > 29, то F(х) = 1. Действительно, событие достоверно и вероятность его равна единице: 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,4 = 1.

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

.

Построим график этой функции.