Решение. 1. Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки по формуле

1. Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки по формуле:

(8)

Подставляя в эту формулу координаты точек , , и вычисляя определитель, получим:

,

.

Разложим определитель в левой части равенства по элементам первой строки

(x – 1)(10 – 20) – (y – 5)(-40 + 30) + (z + 7)(-8 + 3) = 0;

-10(x – 1) + 10(y – 5) – 5(z + 7) = 0

или

2(x – 1) – 2(y – 5) + z + 7 = 0,

2 x – 2 – 2 y + 10 + z + 7 = 0,

2 x – 2 y + z + 15 = 0.

2. Расстояние от точки до плоскости Ax + By + + Cz + D = 0 вычисляется по формуле:

(9)

Тогда получим:

.

ОТВЕТ: d = 7.

Задание № 10. Даны координаты пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄:

А ₁(4; -1; 5); А ₂ (0; 3; 2); А ₃ (0; 2; -2); А ₄ (1; -3; 0).

Найти:

1) уравнение прямой А ₁ А ₂;

2) уравнение прямой А ₃ N параллельной прямой А ₁ А ₂;

3) уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃;

4) уравнение высоты, опушенной из вершины А ₄ на грань А ₁ А ₂ А ₃;

5) угол между прямой А ₁ А ₄ и плоскостью А ₁ А ₂ А ₃.