Рассмотрим функцию у =f(х)., заданную в интервале (а, b); пусть ,и тогда приращение функции в точке х0 выразится формулой
Производной функции у =f(х) в точке x называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Производную функции у =f(х) в точке x обозначают символом (читается: эф штрих от x ). Следовательно, по определению
(2)
или
(3)
Из формул (1) и (2) следует, что
(4)
Формула (4) выражает геометрический смысл производной: производная от данной функции в данной точке равна тангенсу угла между осью Ох и касательной к графику этой функции в соответствующей точке.
Уравнение касательной к линии у =f(х) в точке М0(х0, у0) принимает вид
(5)
Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если , то уравнение нормали к линии у =f(х) в точке М0(х0, у0) записывается так:
(6)
Физический смысл производной состоит в следующем: производная от пути по времени равна скорости прямолинейного движения точки.
|
|
Если в формуле (2) от точки х0 перейти к другой точке х, получим другой предел, поэтому - некоторая функция аргумента х:
(7)